Номер 12.11, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.11. Исследуйте на монотонность последовательность $(a_n)$, заданную формулой:

1) $a_n = -3^n$;

2) $a_n = 5^{n+1}$;

3) $a_n = \frac{3n+1}{n+2}$;

4) $a_n = \frac{5n+3}{n+1}$.

Для исследования последовательности $(a_n)$ на монотонность необходимо определить, как изменяются ее члены с ростом номера $n$. Последовательность называется:

• строго возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \ge 1$.
• строго убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.

Для этого можно исследовать знак разности $a_{n+1} - a_n$ или, если все члены последовательности положительны, сравнить отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ с единицей.

1) $a_n = -3^n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -3^{n+1}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = -3^{n+1} - (-3^n) = -3^{n+1} + 3^n = 3^n \cdot (-3 + 1) = -2 \cdot 3^n$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $3^n$ всегда положительно. Следовательно, произведение $-2 \cdot 3^n$ всегда отрицательно.

$a_{n+1} - a_n < 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $a_{n+1} < a_n$, то есть каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Таким образом, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является строго убывающей.

2) $a_n = 5^{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 5^{(n+1)+1} = 5^{n+2}$.

Все члены последовательности положительны ($a_n > 0$ для всех $n$), поэтому мы можем рассмотреть их отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+2}}{5^{n+1}} = 5^{n+2-(n+1)} = 5^1 = 5$.

Так как отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 > 1$ для любого $n \in \mathbb{N}$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Таким образом, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

3) $a_n = \frac{3n+1}{n+2}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{3n+4}{n+3}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3) = (3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5$.

Таким образом, разность равна:

$a_{n+1} - a_n = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$.

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $(n+3)(n+2)$ является произведением двух положительных чисел и, следовательно, положителен. Числитель равен 5, что также положительно. Значит, вся дробь положительна.

$a_{n+1} - a_n > 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $a_{n+1} > a_n$, то есть последовательность является строго возрастающей.

Альтернативный способ: представим общий член в другом виде, выделив целую часть: $a_n = \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3(n+2)-6+1}{n+2} = \frac{3(n+2)-5}{n+2} = 3 - \frac{5}{n+2}$. С ростом $n$ знаменатель $n+2$ растет, положительная дробь $\frac{5}{n+2}$ уменьшается, а значит разность $3 - \frac{5}{n+2}$ увеличивается. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

4) $a_n = \frac{5n+3}{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{5(n+1)+3}{(n+1)+1} = \frac{5n+8}{n+2}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{5n+8}{n+2} - \frac{5n+3}{n+1} = \frac{(5n+8)(n+1) - (5n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(5n+8)(n+1) - (5n+3)(n+2) = (5n^2 + 5n + 8n + 8) - (5n^2 + 10n + 3n + 6) = (5n^2 + 13n + 8) - (5n^2 + 13n + 6) = 2$.

Таким образом, разность равна:

$a_{n+1} - a_n = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$.

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $(n+2)(n+1)$ является произведением двух положительных чисел и, следовательно, положителен. Числитель равен 2, что также положительно. Значит, вся дробь положительна.

$a_{n+1} - a_n > 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $a_{n+1} > a_n$, то есть последовательность является строго возрастающей.

Альтернативный способ: представим общий член в другом виде, выделив целую часть: $a_n = \frac{5n+3}{n+1} = \frac{5(n+1)-5+3}{n+1} = \frac{5(n+1)-2}{n+1} = 5 - \frac{2}{n+1}$. С ростом $n$ знаменатель $n+1$ растет, положительная дробь $\frac{2}{n+1}$ уменьшается, а значит разность $5 - \frac{2}{n+1}$ увеличивается. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.