Номер 12.16, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.16. Докажите, что является возрастающей числовая последовательность ($a_n$), заданная формулой:

1) $a_n = 30n - 2;$

2) $a_n = n^2 + 2n - 2;$

3) $a_n = 9n^2 + 4n - 5;$

4) $a_n = \frac{n+1}{n+2};$

5) $a_n = \frac{2n-1}{n+1};$

6) $a_n = \frac{4n+3}{n+3}.$

Для того чтобы доказать, что числовая последовательность $(a_n)$ является возрастающей, необходимо показать, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n$ положительна.

1) Дана последовательность $a_n = 30n - 2$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 30(n+1) - 2 = 30n + 30 - 2 = 30n + 28$.
Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (30n + 28) - (30n - 2) = 30n + 28 - 30n + 2 = 30$.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = 30$ и $30 > 0$, то неравенство $a_{n+1} > a_n$ выполняется для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

2) Дана последовательность $a_n = n^2 + 2n - 2$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) - 2 = (n^2 + 2n + 1) + (2n + 2) - 2 = n^2 + 4n + 1$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (n^2 + 4n + 1) - (n^2 + 2n - 2) = n^2 + 4n + 1 - n^2 - 2n + 2 = 2n + 3$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Тогда $2n \ge 2$, и $2n + 3 \ge 5$.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = 2n + 3 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

3) Дана последовательность $a_n = 9n^2 + 4n - 5$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 9(n+1)^2 + 4(n+1) - 5 = 9(n^2 + 2n + 1) + 4n + 4 - 5 = 9n^2 + 18n + 9 + 4n - 1 = 9n^2 + 22n + 8$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (9n^2 + 22n + 8) - (9n^2 + 4n - 5) = 9n^2 + 22n + 8 - 9n^2 - 4n + 5 = 18n + 13$.
Поскольку $n \ge 1$, то $18n \ge 18$, и $18n + 13 \ge 31$.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = 18n + 13 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

4) Дана последовательность $a_n = \frac{n+1}{n+2}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{n+2}{n+3}$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)(n+2) - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2+4n+4 - (n^2+4n+3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)}$.
Для любого натурального $n$, выражения $n+2$ и $n+3$ положительны, следовательно, их произведение $(n+2)(n+3)$ также положительно.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+2)(n+3)} > 0$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

5) Дана последовательность $a_n = \frac{2n-1}{n+1}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{2n+2-1}{n+2} = \frac{2n+1}{n+2}$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{2n+1}{n+2} - \frac{2n-1}{n+1} = \frac{(2n+1)(n+1) - (2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(2n^2+3n+1) - (2n^2+3n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3}{(n+2)(n+1)}$.
Для любого натурального $n$, выражения $n+1$ и $n+2$ положительны, следовательно, их произведение $(n+1)(n+2)$ также положительно.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = \frac{3}{(n+1)(n+2)} > 0$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

6) Дана последовательность $a_n = \frac{4n+3}{n+3}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{4(n+1)+3}{(n+1)+3} = \frac{4n+4+3}{n+4} = \frac{4n+7}{n+4}$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{4n+7}{n+4} - \frac{4n+3}{n+3} = \frac{(4n+7)(n+3) - (4n+3)(n+4)}{(n+4)(n+3)} = \frac{(4n^2+12n+7n+21) - (4n^2+16n+3n+12)}{(n+4)(n+3)} = \frac{4n^2+19n+21 - (4n^2+19n+12)}{(n+4)(n+3)} = \frac{9}{(n+4)(n+3)}$.
Для любого натурального $n$, выражения $n+3$ и $n+4$ положительны, следовательно, их произведение $(n+3)(n+4)$ также положительно.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = \frac{9}{(n+3)(n+4)} > 0$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.