Номер 12.15, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.15. Докажите, что является убывающей числовая последовательность $(a_n)$, заданная формулой:

1) $a_n = 302 - 53n$;

2) $a_n = -5n^2 + 3n - 2$;

3) $a_n = -9n^2 + 10n + 25$;

4) $a_n = \frac{n - 5}{n - 2}$;

5) $a_n = \frac{2n + 5}{n + 1}$;

6) $a_n = \frac{4n + 15}{n - 3}$.

Чтобы доказать, что числовая последовательность $(a_n)$ является убывающей, необходимо показать, что для любого натурального $n$ (из области определения последовательности) выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$. Это равносильно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n$ отрицательна.

1) Найдем разность $a_{n+1} - a_n$ для последовательности $a_n = 302 - 53n$. Сначала выразим $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 302 - 53(n+1) = 302 - 53n - 53 = 249 - 53n$. Теперь вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (249 - 53n) - (302 - 53n) = 249 - 53n - 302 + 53n = -53$. Так как разность $a_{n+1} - a_n = -53$ является постоянным отрицательным числом при любом натуральном $n$, то последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = -53 < 0$.

2) Рассмотрим последовательность $a_n = -5n^2 + 3n - 2$. Найдем $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = -5(n+1)^2 + 3(n+1) - 2 = -5(n^2 + 2n + 1) + 3n + 3 - 2 = -5n^2 - 10n - 5 + 3n + 1 = -5n^2 - 7n - 4$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (-5n^2 - 7n - 4) - (-5n^2 + 3n - 2) = -5n^2 - 7n - 4 + 5n^2 - 3n + 2 = -10n - 2$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $-10n \le -10$, и разность $a_{n+1} - a_n = -10n - 2 \le -12$, что всегда меньше нуля. Значит, последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = -10n - 2 < 0$ для всех натуральных $n$.

3) Для последовательности $a_n = -9n^2 + 10n + 25$ найдем $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = -9(n+1)^2 + 10(n+1) + 25 = -9(n^2 + 2n + 1) + 10n + 10 + 25 = -9n^2 - 18n - 9 + 10n + 35 = -9n^2 - 8n + 26$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (-9n^2 - 8n + 26) - (-9n^2 + 10n + 25) = -9n^2 - 8n + 26 + 9n^2 - 10n - 25 = -18n + 1$. Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $18n \ge 18$, а $-18n \le -18$. Следовательно, разность $a_{n+1} - a_n = -18n + 1 \le -18 + 1 = -17 < 0$. Последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = -18n + 1 < 0$ для всех натуральных $n$.

4) Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n-5}{n-2}$. Эта последовательность определена для всех натуральных $n$, кроме $n=2$. Найдем разность $a_{n+1} - a_n$. $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{(n+1)-5}{(n+1)-2} = \frac{n-4}{n-1}$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{n-4}{n-1} - \frac{n-5}{n-2} = \frac{(n-4)(n-2) - (n-5)(n-1)}{(n-1)(n-2)} = \frac{(n^2 - 6n + 8) - (n^2 - 6n + 5)}{(n-1)(n-2)} = \frac{3}{(n-1)(n-2)}$. Для того чтобы последовательность была убывающей, эта разность должна быть отрицательной. Однако, при $n \ge 3$ оба множителя в знаменателе, $(n-1)$ и $(n-2)$, положительны. Значит, знаменатель $(n-1)(n-2)$ положителен. Числитель равен 3, что также положительно. Таким образом, при $n \ge 3$ разность $a_{n+1} - a_n > 0$, и последовательность является возрастающей. В условии задачи, вероятно, допущена ошибка. Ответ: Доказательство невозможно, так как последовательность является возрастающей для $n \ge 3$, поскольку $a_{n+1} - a_n = \frac{3}{(n-1)(n-2)} > 0$ для $n \ge 3$.

5) Для последовательности $a_n = \frac{2n+5}{n+1}$ найдем $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = \frac{2(n+1)+5}{(n+1)+1} = \frac{2n+7}{n+2}$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{2n+7}{n+2} - \frac{2n+5}{n+1} = \frac{(2n+7)(n+1) - (2n+5)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(2n^2+9n+7) - (2n^2+9n+10)}{(n+2)(n+1)} = \frac{-3}{(n+2)(n+1)}$. Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то множители $(n+2)$ и $(n+1)$ положительны, а значит и их произведение в знаменателе положительно. Числитель равен -3, он отрицателен. Следовательно, разность $a_{n+1} - a_n$ отрицательна для любого натурального $n$. Последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = \frac{-3}{(n+2)(n+1)} < 0$ для всех натуральных $n$.

6) Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{4n+15}{n-3}$. Данная последовательность определена для всех натуральных $n$, кроме $n=3$. Чтобы доказать, что она является убывающей, нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$ для всех $n$, для которых оба члена определены. Найдем разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{4(n+1)+15}{(n+1)-3} - \frac{4n+15}{n-3} = \frac{4n+19}{n-2} - \frac{4n+15}{n-3} = \frac{(4n+19)(n-3) - (4n+15)(n-2)}{(n-2)(n-3)} = \frac{(4n^2+7n-57) - (4n^2+7n-30)}{(n-2)(n-3)} = \frac{-27}{(n-2)(n-3)}$. Знак этой разности зависит от знака знаменателя $(n-2)(n-3)$. При $n \ge 4$ оба множителя $(n-2)$ и $(n-3)$ положительны, значит, знаменатель положителен, а вся дробь отрицательна. Это означает, что последовательность убывает при $n \ge 4$. Однако, если рассмотреть всю область определения, последовательность не является убывающей, так как $a_2 = -23$, а $a_4 = 31$, то есть $a_4 > a_2$. Вероятно, в задаче подразумевается рассмотрение поведения последовательности при $n \ge 4$. Ответ: Доказано, что последовательность является убывающей для $n \ge 4$, так как $a_{n+1} - a_n = \frac{-27}{(n-2)(n-3)} < 0$ для $n \ge 4$.