Номер 12.18, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.18. Найдите, если возможно, наименьший и наибольший член числовой последовательности:

1) $c_n = -\frac{1}{2} \cdot 3^n$;

2) $c_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \cdot 5$;

3) $c_n = -n^2 + 7$;

4) $c_n = n^2 + 7n$.

1) Последовательность задана формулой $c_n = -\frac{1}{2} \cdot 3^n$. Это геометрическая прогрессия, у которой знаменатель $q=3 > 1$. Так как основание степени $3^n$ больше единицы, эта часть возрастает с ростом $n$. Умножение на отрицательный коэффициент $-\frac{1}{2}$ делает всю последовательность $c_n$ строго убывающей. Её наибольшим членом будет первый член, $c_1 = -\frac{1}{2} \cdot 3^1 = -1.5$. Поскольку последовательность неограниченно убывает при $n \to \infty$, наименьшего члена у неё не существует. Ответ: наибольший член $c_1 = -1.5$, наименьшего члена не существует.

2) Последовательность задана формулой $c_n = (-\frac{1}{2})^n \cdot 5$. Это знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -\frac{1}{2}$. Вычислим несколько первых членов: $c_1 = (-\frac{1}{2}) \cdot 5 = -2.5$; $c_2 = (\frac{1}{4}) \cdot 5 = 1.25$; $c_3 = (-\frac{1}{8}) \cdot 5 = -0.625$; $c_4 = (\frac{1}{16}) \cdot 5 = 0.3125$. Так как $|q| < 1$, члены последовательности по модулю стремятся к нулю. Положительные члены (с четными номерами $n$) образуют убывающую подпоследовательность $1.25, 0.3125, \dots$, её наибольший член - $c_2 = 1.25$. Отрицательные члены (с нечетными номерами $n$) образуют возрастающую подпоследовательность $-2.5, -0.625, \dots$, её наименьший член - $c_1 = -2.5$. Следовательно, $c_2$ является наибольшим членом всей последовательности, а $c_1$ - наименьшим. Ответ: наименьший член $c_1 = -2.5$, наибольший член $c_2 = 1.25$.

3) Последовательность задана формулой $c_n = -n^2 + 7$. Рассмотрим функцию $f(x)=-x^2+7$. Её график — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $x=0$. Для натуральных $n \ge 1$ значения функции, а значит и члены последовательности, строго убывают. Первый член $c_1 = -1^2+7=6$ будет наибольшим. Так как при $n \to \infty$ члены последовательности стремятся к $-\infty$, она не ограничена снизу, и наименьшего члена не существует. Ответ: наибольший член $c_1 = 6$, наименьшего члена не существует.

4) Последовательность задана формулой $c_n = n^2 + 7n$. Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+7x$. Её график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $x = -3.5$. Для натуральных $n \ge 1$, которые находятся правее вершины, значения функции, а значит и члены последовательности, строго возрастают. Первый член $c_1 = 1^2+7(1)=8$ будет наименьшим. Так как при $n \to \infty$ члены последовательности стремятся к $+\infty$, она не ограничена сверху, и наибольшего члена не существует. Ответ: наименьший член $c_1 = 8$, наибольшего члена не существует.