Номер 12.25, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.25. Решите уравнение:

1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0;$

2) $3x^3 - 2x^2 - 27x + 18 = 0;$

3) $x^4 - 3x^2 - 18 = 0;$

4) $x^4 - 6x^2 - 27 = 0.$

1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$

Решим уравнение методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 2x^2) + (-9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 - 9) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 9$ является разностью квадратов и может быть разложено на множители $(x - 3)(x + 3)$:

$(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; 2; 3$.

2) $3x^3 - 2x^2 - 27x + 18 = 0$

Решим это уравнение также методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - 2x^2) + (-27x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(3x - 2) - 9(3x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 2)$ за скобки:

$(3x - 2)(x^2 - 9) = 0$

Разложим разность квадратов $x^2 - 9$ на множители:

$(3x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; \frac{2}{3}; 3$.

3) $x^4 - 3x^2 - 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 3y - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-18$, а их сумма равна $3$. Корнями являются $y_1 = 6$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $y_1 = 6$. Так как $y_1 \ge 0$, этот корень подходит.

$x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$

2. $y_2 = -3$. Так как $y_2 < 0$, этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и не дает действительных решений для $x$.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^4 - 6x^2 - 27 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-27$, а их сумма равна $6$. Корнями являются $y_1 = 9$ и $y_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

1. $y_1 = 9$. Корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.

$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm\sqrt{9} \Rightarrow x = \pm 3$

2. $y_2 = -3$. Корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому действительных решений для $x$ в этом случае нет.

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-3; 3$.