Вопросы, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. К какому способу задания числовой последовательности можно отнести арифметическую прогрессию?

2. Приведите примеры конечной и бесконечной арифметической прогрессии.

3. Что для арифметической прогрессии обозначает формула $d = a_{n+1} - a_n$?

4. По какому признаку можно установить, что числовая последовательность является арифметической прогрессией?

1. Арифметическую прогрессию относят к рекуррентному способу задания числовой последовательности. Это связано с тем, что по определению, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, получается из предыдущего путем прибавления к нему постоянного числа $d$ (разности прогрессии). Это выражается рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + d$. Однако, арифметическую прогрессию можно задать и аналитически, с помощью формулы n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Ответ: Арифметическую прогрессию относят к рекуррентному способу задания последовательности, но ее также можно задать и аналитическим способом.

2. Пример конечной арифметической прогрессии: последовательность всех нечетных положительных чисел, меньших 20. Эта прогрессия выглядит так: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Здесь первый член $a_1=1$, разность $d=2$, и в прогрессии 10 членов.
Пример бесконечной арифметической прогрессии: последовательность всех натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 1. Эта прогрессия выглядит так: 1, 4, 7, 10, 13, ... . Здесь первый член $a_1=1$, разность $d=3$.
Ответ: Пример конечной прогрессии: 1, 3, 5, ..., 19. Пример бесконечной прогрессии: 1, 4, 7, 10, ...

3. В арифметической прогрессии формула $d = a_{n+1} - a_n$ является определением ее основного параметра — разности прогрессии. Буква $d$ обозначает разность прогрессии, $a_n$ — это член прогрессии с номером $n$ (n-й член), а $a_{n+1}$ — это следующий за ним член прогрессии с номером $n+1$. Формула утверждает, что разность между любым последующим и предыдущим членами прогрессии является постоянной величиной.
Ответ: Эта формула определяет разность арифметической прогрессии ($d$) как постоянную величину, равную разности между любым ее последующим членом ($a_{n+1}$) и предыдущим ($a_n$).

4. Основной признак, по которому можно установить, что числовая последовательность является арифметической прогрессией, заключается в постоянстве разности между ее соседними членами. Если для всех натуральных $n$ разность $a_{n+1} - a_n$ является одним и тем же числом, то данная последовательность — арифметическая прогрессия. Также существует характеристическое свойство: каждый член прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседних членов: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.
Ответ: Числовая последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом, постоянна.