Номер 12.27, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.27. Постройте схематически графики уравнений системы и найдите число решений системы:

1)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - x^2 = 3; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y + 2x^2 = 6; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - |x| = 0; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y - |x - 2| = 0. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - x^2 = 3; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y - x^2 = 3$ можно переписать в виде $y = x^2 + 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 3).

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

На графике видно, что окружность и парабола пересекаются в двух точках. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

2)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y + 2x^2 = 6; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 36$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

Второе уравнение $y + 2x^2 = 6$ можно переписать в виде $y = -2x^2 + 6$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 6).

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

На графике видно, что вершина параболы (0, 6) лежит на окружности. Кроме этой точки касания, есть еще две точки пересечения. Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: 3.

3)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - |x| = 0; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = 5$.

Второе уравнение $y - |x| = 0$ можно переписать как $y = |x|$. График этой функции представляет собой две линии, исходящие из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

Графики пересекаются в двух точках в верхней полуплоскости. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

4)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y - |x-2| = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{2}$.

Второе уравнение $y - |x-2| = 0$ можно переписать как $y = |x-2|$. График этой функции представляет собой график $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вершина находится в точке (2, 0).

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

На графике видно, что графики уравнений имеют одну общую точку (касаются в точке (1, 1)). Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.