Номер 12.22, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.22. Задайте рекуррентным или аналитическим способом числовую последовательность, первый член которой равен:

1) 1, третий член равен 5;

2) 3, третий член равен 11, а каждый из остальных членов равен среднему арифметическому двух соседних членов.

1)

По условию, нам даны первый и третий члены последовательности: $a_1 = 1$ и $a_3 = 5$. Условий для однозначного задания последовательности недостаточно, поэтому мы можем выбрать наиболее простой вид последовательности, удовлетворяющей этим условиям, например, арифметическую прогрессию.

Пусть искомая последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используем известные члены последовательности для нахождения разности $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
Подставим значения $a_1 = 1$ и $a_3 = 5$ в формулу:
$5 = 1 + 2d$
$2d = 5 - 1$
$2d = 4$
$d = 2$

Теперь мы можем задать последовательность аналитически или рекуррентно.

Аналитический способ:
Формула $n$-го члена последовательности:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.
Итак, аналитическая формула последовательности: $a_n = 2n - 1$.

Рекуррентный способ:
Задается первый член и формула для нахождения следующего члена через предыдущий:
$a_1 = 1$
$a_{n+1} = a_n + d = a_n + 2$ для $n \ge 1$.
Итак, рекуррентное задание последовательности: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

Ответ: Последовательность можно задать аналитически формулой $a_n = 2n - 1$ или рекуррентно: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

2)

По условию, нам даны первый и третий члены последовательности: $a_1 = 3$ и $a_3 = 11$. Также дано условие, что каждый из остальных членов равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Это условие можно записать в виде формулы для любого члена $a_n$ с номером $n \ge 2$:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Преобразуем это выражение:
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Перепишем его в другом виде, выразив разность соседних членов:
$a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Это равенство означает, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Такая последовательность по определению является арифметической прогрессией. Обозначим эту постоянную разность как $d$.

Теперь, зная, что последовательность является арифметической прогрессией, мы можем найти ее разность $d$, используя известные члены $a_1 = 3$ и $a_3 = 11$.
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$11 = 3 + 2d$
$2d = 11 - 3$
$2d = 8$
$d = 4$

Теперь мы можем задать последовательность аналитически или рекуррентно.

Аналитический способ:
Формула $n$-го члена последовательности:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.
Итак, аналитическая формула последовательности: $a_n = 4n - 1$.

Рекуррентный способ:
Задается первый член и формула для нахождения следующего члена через предыдущий:
$a_1 = 3$
$a_{n+1} = a_n + d = a_n + 4$ для $n \ge 1$.
Итак, рекуррентное задание последовательности: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$.

Ответ: Последовательность можно задать аналитически формулой $a_n = 4n - 1$ или рекуррентно: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$.