Номер 12.19, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.19. Найдите формулу общего (n-го) члена числовой последовательности, если известны следующие первые ее члены:

1) 0; 7; 26; 63; 124; 215;

2) 8; 26; 80; 242; 729;

3) 1; 7; 31; 127; 511;

4) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$; $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$; $\frac{1}{\sqrt{4}-1}$; $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$.

1) Дана последовательность: 0; 7; 26; 63; 124; 215; ...
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 0$
$a_2 = 7$
$a_3 = 26$
$a_4 = 63$
$a_5 = 124$
$a_6 = 215$
Проанализируем члены последовательности. Заметим, что они близки к кубам натуральных чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
Каждый член последовательности $a_n$ на единицу меньше, чем куб его номера $n$.
$a_1 = 1^3 - 1 = 0$
$a_2 = 2^3 - 1 = 7$
$a_3 = 3^3 - 1 = 26$
и так далее.
Таким образом, формула общего (n-го) члена последовательности имеет вид $a_n = n^3 - 1$.
Ответ: $a_n = n^3 - 1$

2) Дана последовательность: 8; 26; 80; 242; 729; ...
Проанализируем члены последовательности. Заметим, что они близки к степеням числа 3:
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$
Видно, что первые четыре члена можно описать формулой $a_n = 3^{n+1} - 1$:
$a_1 = 3^{1+1} - 1 = 3^2 - 1 = 8$
$a_2 = 3^{2+1} - 1 = 3^3 - 1 = 26$
$a_3 = 3^{3+1} - 1 = 3^4 - 1 = 80$
$a_4 = 3^{4+1} - 1 = 3^5 - 1 = 242$
Однако, пятый член последовательности $a_5 = 729$, в то время как по найденной закономерности он должен быть равен $3^{5+1} - 1 = 728$. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если исходить из закономерности, установленной первыми четырьмя членами, формула общего члена имеет следующий вид.
Ответ: $a_n = 3^{n+1} - 1$

3) Дана последовательность: 1; 7; 31; 127; 511; ...
Проанализируем члены последовательности. Заметим, что они на единицу меньше степеней числа 2:
$a_1 = 1 = 2 - 1 = 2^1 - 1$
$a_2 = 7 = 8 - 1 = 2^3 - 1$
$a_3 = 31 = 32 - 1 = 2^5 - 1$
$a_4 = 127 = 128 - 1 = 2^7 - 1$
$a_5 = 511 = 512 - 1 = 2^9 - 1$
Показатели степеней двойки (1, 3, 5, 7, 9, ...) образуют арифметическую прогрессию нечетных чисел. Формула для n-го нечетного числа — $2n - 1$.
Таким образом, формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = 2^{2n-1} - 1$.
Проверим ее:
При $n=1$: $a_1 = 2^{2 \cdot 1 - 1} - 1 = 2^1 - 1 = 1$.
При $n=3$: $a_3 = 2^{2 \cdot 3 - 1} - 1 = 2^5 - 1 = 31$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2^{2n-1} - 1$

4) Дана последовательность: $\frac{1}{\sqrt{2}-1}; \frac{1}{\sqrt{3}+1}; \frac{1}{\sqrt{4}-1}; \frac{1}{\sqrt{5}+1}; \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Проанализируем знаменатель каждого члена.
Число под знаком корня в знаменателе для n-го члена равно $n+1$.
Второй член в знаменателе чередуется: -1, +1, -1, +1, ...
Для нечетных $n$ (1, 3, ...) он равен -1.
Для четных $n$ (2, 4, ...) он равен +1.
Такое чередование знаков можно представить с помощью выражения $(-1)^n$, так как $(-1)^1 = -1$, $(-1)^2 = 1$, $(-1)^3 = -1$ и так далее.
Таким образом, знаменатель n-го члена можно записать как $\sqrt{n+1} + (-1)^n$.
Следовательно, формула общего члена последовательности: $a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + (-1)^n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + (-1)^n}$