Номер 12.17, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.17. Найдите наименьший член числовой последовательности, за-

данной формулой n-го члена:

1) $a_n = n^2 - 12n;$

2) $a_n = n^2 - 13n + 2;$

3) $a_n = 2n^2 + 5n - 3.$

1) Чтобы найти наименьший член последовательности $a_n = n^2 - 12n$, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 12n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, функция имеет точку минимума в своей вершине.

Координата вершины параболы по оси абсцисс (в нашем случае по оси $n$) находится по формуле $n_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1$, $b=-12$.

$n_v = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, а полученное значение $n_v = 6$ является натуральным числом, то наименьшее значение последовательность принимает при $n=6$.

Вычислим этот член последовательности: $a_6 = 6^2 - 12 \cdot 6 = 36 - 72 = -36$.
Ответ: -36

2) Рассмотрим последовательность $a_n = n^2 - 13n + 2$. Соответствующая квадратичная функция $f(n) = n^2 - 13n + 2$ представляет собой параболу с ветвями вверх ($a=1 > 0$), поэтому она имеет минимум в вершине.

Найдем координату вершины: $n_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-13}{2 \cdot 1} = \frac{13}{2} = 6.5$.

Полученное значение $n_v = 6.5$ не является натуральным числом. Наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух ближайших к $6.5$ натуральных чисел, то есть при $n=6$ или $n=7$.

Вычислим значения последовательности для этих номеров:

$a_6 = 6^2 - 13 \cdot 6 + 2 = 36 - 78 + 2 = -40$.

$a_7 = 7^2 - 13 \cdot 7 + 2 = 49 - 91 + 2 = -40$.

Оба значения равны, и это наименьшее значение в последовательности.
Ответ: -40

3) Рассмотрим последовательность $a_n = 2n^2 + 5n - 3$. Соответствующая квадратичная функция $f(n) = 2n^2 + 5n - 3$ представляет собой параболу с ветвями вверх ($a=2 > 0$), поэтому она имеет минимум в вершине.

Найдем координату вершины: $n_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1.25$.

Вершина параболы находится в точке $n_v = -1.25$. Так как $n$ — это номер члена последовательности и должно быть натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$), а все натуральные числа больше $-1.25$, то на множестве натуральных чисел функция $f(n)$ будет возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение последовательность принимает при наименьшем возможном натуральном $n$, то есть при $n=1$.

Вычислим этот член последовательности: $a_1 = 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4$.
Ответ: 4