Номер 12.23, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*12.23. Задайте рекуррентным или аналитическим способом числовую последовательность:

1) 7; 14; 28; 56; 112;

2) 3; -3; 3; -3; 3; -3;

3) 23; 28; 38; 49; 62; 70;

4) $ \frac{1}{1 \cdot 2} $; $ \frac{1}{2 \cdot 3} $; $ \frac{1}{3 \cdot 4} $; $ \frac{1}{4 \cdot 5} $; $ \frac{1}{5 \cdot 6} $.

1)

Обозначим члены последовательности $a_n$. Первый член последовательности $a_1 = 7$. Найдем отношение последующих членов к предыдущим: $a_2 / a_1 = 14 / 7 = 2$ $a_3 / a_2 = 28 / 14 = 2$ $a_4 / a_3 = 56 / 28 = 2$ $a_5 / a_4 = 112 / 56 = 2$ Каждый следующий член последовательности в 2 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = 7$ и знаменателем $q = 2$.

Эту последовательность можно задать двумя способами:

1. Аналитический способ: Формула n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем: $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$.

2. Рекуррентный способ: Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2. $a_1 = 7$, $a_{n+1} = 2 \cdot a_n$ при $n \ge 1$.

Ответ: Аналитически: $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$; рекуррентно: $a_1 = 7, a_{n+1} = 2a_n$.

2)

Обозначим члены последовательности $b_n$. Это знакочередующаяся последовательность. Заметим, что по модулю все члены равны 3. $b_1 = 3$ $b_2 = -3 = 3 \cdot (-1)$ $b_3 = 3 = -3 \cdot (-1)$ $b_4 = -3 = 3 \cdot (-1)$ Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = -1$.

Аналитический способ: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Получаем: $b_n = 3 \cdot (-1)^{n-1}$.

Рекуррентный способ: $b_1 = 3$, $b_{n+1} = -b_n$ при $n \ge 1$.

Ответ: Аналитически: $b_n = 3 \cdot (-1)^{n-1}$.

3)

Обозначим члены последовательности $c_n$. $c_1 = 23; c_2 = 28; c_3 = 38; c_4 = 49; c_5 = 62; c_6 = 70$. Найдем разности между соседними членами: $c_2 - c_1 = 28 - 23 = 5$ $c_3 - c_2 = 38 - 28 = 10$ $c_4 - c_3 = 49 - 38 = 11$ $c_5 - c_4 = 62 - 49 = 13$ $c_6 - c_5 = 70 - 62 = 8$

Последовательность разностей (5, 10, 11, 13, 8) не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией, что указывает на отсутствие простой закономерности или на возможную опечатку в условии.

Однако, первые три члена (23, 28, 38) соответствуют закономерности, где разности образуют арифметическую прогрессию. Разность между первым и вторым членом равна 5, а между вторым и третьим — 10. Можно предположить, что разности должны были быть 5, 10, 15, 20, 25, ... (арифметическая прогрессия с первым членом 5 и разностью 5).

Если это так, то последовательность можно задать рекуррентно: $c_1 = 23$ $c_n = c_{n-1} + 5(n-1)$ для $n \ge 2$.

Проверим: $c_2 = c_1 + 5(2-1) = 23 + 5 = 28$ $c_3 = c_2 + 5(3-1) = 28 + 10 = 38$ $c_4 = c_3 + 5(4-1) = 38 + 15 = 53$ (в условии 49) $c_5 = c_4 + 5(5-1) = 53 + 20 = 73$ (в условии 62)

Таким образом, наиболее вероятная закономерность, нарушенная из-за опечаток, задается рекуррентной формулой.

Ответ: Предполагая наличие опечаток в условии, последовательность можно задать рекуррентно: $c_1 = 23$, $c_n = c_{n-1} + 5(n-1)$ при $n \ge 2$.

4)

Обозначим члены последовательности $d_n$. $d_1 = \frac{1}{1 \cdot 2}$ $d_2 = \frac{1}{2 \cdot 3}$ $d_3 = \frac{1}{3 \cdot 4}$ $d_4 = \frac{1}{4 \cdot 5}$ $d_5 = \frac{1}{5 \cdot 6}$

Легко заметить, что числитель каждого члена равен 1, а знаменатель n-го члена равен произведению натурального числа $n$ на следующее за ним натуральное число $n+1$.

Аналитический способ: Формула n-го члена последовательности имеет вид: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$

Ответ: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$.