Номер 12.26, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.26. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 45, \\ y - 2x = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - y + xy = -5, \\ x + 2y = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 45, \\ y - 2x = 0. \end{cases}$
Это система, состоящая из одного нелинейного и одного линейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.
Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y - 2x = 0 \Rightarrow y = 2x$.
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (2x)^2 = 45$
$x^2 + 4x^2 = 45$
$5x^2 = 45$
$x^2 = \frac{45}{5}$
$x^2 = 9$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 2x$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = 2 \cdot 3 = 6$. Первое решение: $(3, 6)$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = 2 \cdot (-3) = -6$. Второе решение: $(-3, -6)$.
Ответ: $(3, 6)$, $(-3, -6)$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3. \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$:
$x = 3 - 2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11$
Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат: $(3 - 2y)^2 = 9 - 12y + 4y^2$.
$3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11$
$27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11$
Приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $y$:
$14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0$
$14y^2 - 36y + 16 = 0$
Для упрощения можно разделить все уравнение на 2:
$7y^2 - 18y + 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 + 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$.
$y_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 - 10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 3 - 2y$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$. Первое решение: $(-1, 2)$.
При $y_2 = \frac{4}{7}$, $x_2 = 3 - 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21}{7} - \frac{8}{7} = \frac{13}{7}$. Второе решение: $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.
Ответ: $(-1, 2)$, $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = -2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$
$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$-y^2 = -1$
$y^2 = 1$
Отсюда находим два значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = -2y$:
При $y_1 = 1$, $x_1 = -2 \cdot 1 = -2$. Первое решение: $(-2, 1)$.
При $y_2 = -1$, $x_2 = -2 \cdot (-1) = 2$. Второе решение: $(2, -1)$.
Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y + xy = -5, \\ x + 2y = 4. \end{cases}$
Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 4 - 2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(4 - 2y)^2 - y + (4 - 2y)y = -5$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(16 - 16y + 4y^2) - y + (4y - 2y^2) = -5$
$16 - 16y + 4y^2 - y + 4y - 2y^2 = -5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4y^2 - 2y^2) + (-16y - y + 4y) + 16 + 5 = 0$
$2y^2 - 13y + 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
$y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 4 - 2y$:
При $y_1 = \frac{7}{2}$, $x_1 = 4 - 2 \cdot \frac{7}{2} = 4 - 7 = -3$. Первое решение: $(-3, \frac{7}{2})$.
При $y_2 = 3$, $x_2 = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$. Второе решение: $(-2, 3)$.
Ответ: $(-3, \frac{7}{2})$, $(-2, 3)$.