Номер 12.29, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.29. Из населенного пункта $A$ в пункт $B$, длина пути по проселочной дороге между которыми $18$ км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт $B$ на $54$ мин раньше, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на $1$ км/ч больше, чем скорость другого.

Пусть $v$ км/ч — скорость более медленного туриста. Тогда скорость более быстрого туриста составляет $(v + 1)$ км/ч.

Расстояние между пунктами А и В равно $S = 18$ км.

Время, которое затратил на путь медленный турист, равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{18}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь быстрый турист, равно $t_2 = \frac{S}{v+1} = \frac{18}{v+1}$ часов.

Известно, что один турист прибыл в пункт B на 54 минуты раньше другого. Это означает, что разница во времени их движения составляет 54 минуты. Переведем это значение в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:
$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9$ ч.

Так как быстрый турист затратил меньше времени, то разница между временем медленного и быстрого туристов равна $0.9$ часа. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = 0.9$
$\frac{18}{v} - \frac{18}{v + 1} = 0.9$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 1)$:
$\frac{18(v + 1) - 18v}{v(v + 1)} = 0.9$
$\frac{18v + 18 - 18v}{v^2 + v} = 0.9$
$\frac{18}{v^2 + v} = 0.9$

Умножим обе части уравнения на $(v^2 + v)$, учитывая, что скорость $v$ должна быть положительной ($v>0$), поэтому знаменатель не равен нулю.
$18 = 0.9(v^2 + v)$

Разделим обе части на 0.9:
$\frac{18}{0.9} = v^2 + v$
$20 = v^2 + v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + v - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-20$. Корнями являются числа $4$ и $-5$.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2}$

Уравнение имеет два корня:
$v_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$v_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v = -5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость медленного туриста равна 4 км/ч.

Теперь найдем скорость быстрого туриста:
$v + 1 = 4 + 1 = 5$ км/ч.

Таким образом, скорости туристов равны 4 км/ч и 5 км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 4 км/ч, а скорость другого туриста 5 км/ч.