Номер 12.20, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.20. Исследуйте на ограниченность числовую последовательность:

1) $c_n = \frac{n+3}{n+1};$

2) $c_n = \frac{(-1)^n}{n+2};$

3) $c_n = \frac{2n-1}{2n+3};$

4) $c_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}. $

1)Для последовательности $c_n = \frac{n+3}{n+1}$ преобразуем формулу общего члена:
$c_n = \frac{n+1+2}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}$.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+1 \ge 2$, и дробь $\frac{2}{n+1}$ всегда положительна.
Следовательно, $c_n = 1 + \frac{2}{n+1} > 1$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 1.
С увеличением $n$ знаменатель $n+1$ возрастает, а дробь $\frac{2}{n+1}$ уменьшается. Значит, последовательность $c_n$ является убывающей. Ее наибольшее значение достигается при $n=1$:
$c_1 = \frac{1+3}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$.
Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $c_n \le 2$, то есть последовательность ограничена сверху числом 2.
Так как последовательность ограничена и снизу, и сверху ($1 < c_n \le 2$), она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

2)Для последовательности $c_n = \frac{(-1)^n}{n+2}$ рассмотрим модуль ее общего члена:
$|c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n+2}\right| = \frac{1}{n+2}$, поскольку для натуральных $n$ знаменатель $n+2$ всегда положителен.
Так как $n \ge 1$, то $n+2 \ge 1+2 = 3$.
Отсюда следует, что $\frac{1}{n+2} \le \frac{1}{3}$.
Таким образом, для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $|c_n| \le \frac{1}{3}$, что эквивалентно двойному неравенству $-\frac{1}{3} \le c_n \le \frac{1}{3}$.
Это означает, что последовательность ограничена снизу числом $-\frac{1}{3}$ и сверху числом $\frac{1}{3}$. Следовательно, последовательность является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

3)Для последовательности $c_n = \frac{2n-1}{2n+3}$ преобразуем формулу общего члена:
$c_n = \frac{2n+3-4}{2n+3} = 1 - \frac{4}{2n+3}$.
Для любого натурального $n \ge 1$, знаменатель $2n+3$ положителен, а значит, и вся дробь $\frac{4}{2n+3}$ положительна.
Следовательно, $c_n = 1 - \frac{4}{2n+3} < 1$. Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 1.
С ростом $n$ знаменатель $2n+3$ увеличивается, а дробь $\frac{4}{2n+3}$ уменьшается. Поскольку мы вычитаем из 1 уменьшающееся положительное число, то последовательность $c_n$ является возрастающей.
Наименьшее значение достигается при $n=1$:
$c_1 = \frac{2(1)-1}{2(1)+3} = \frac{1}{5}$.
Так как последовательность возрастает, все ее члены больше или равны первому: $c_n \ge \frac{1}{5}$. Значит, последовательность ограничена снизу числом $\frac{1}{5}$.
Поскольку последовательность ограничена и снизу, и сверху ($\frac{1}{5} \le c_n < 1$), она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

4)Для последовательности $c_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$ рассмотрим модуль ее общего члена:
$|c_n| = \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right| = \frac{n}{n+1}$.
Выражение для модуля можно переписать так: $|c_n| = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$.
Так как $n \ge 1$, дробь $\frac{1}{n+1}$ всегда положительна.
Следовательно, $|c_n| = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$ для любого натурального $n$.
Неравенство $|c_n| < 1$ эквивалентно двойному неравенству $-1 < c_n < 1$.
Это означает, что все члены последовательности лежат в интервале $(-1, 1)$, то есть последовательность ограничена снизу числом -1 и сверху числом 1.
Следовательно, данная последовательность является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.