Номер 12.13, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.13. Докажите, что последовательность $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{2n + 1}$ не является монотонной.

Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей (то есть $a_{n+1} \ge a_n$ для всех $n$), либо невозрастающей (то есть $a_{n+1} \le a_n$ для всех $n$).

Чтобы доказать, что последовательность $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{2n + 1}$ не является монотонной, достаточно найти хотя бы один пример возрастания и один пример убывания ее членов. Для этого вычислим значения первых трех членов последовательности.

При $n=1$:
$a_1 = \frac{2(1) + (-1)^1}{2(1) + 1} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$

При $n=2$:
$a_2 = \frac{2(2) + (-1)^2}{2(2) + 1} = \frac{4 + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1$

При $n=3$:
$a_3 = \frac{2(3) + (-1)^3}{2(3) + 1} = \frac{6 - 1}{7} = \frac{5}{7}$

Теперь сравним полученные значения.

Сравним $a_1$ и $a_2$:
$a_1 = \frac{1}{3}$ и $a_2 = 1$.
Так как $1 > \frac{1}{3}$, то имеем $a_2 > a_1$. Это означает, что последовательность возрастает на переходе от $n=1$ к $n=2$.

Сравним $a_2$ и $a_3$:
$a_2 = 1$ и $a_3 = \frac{5}{7}$.
Так как $1 > \frac{5}{7}$, то имеем $a_2 > a_3$. Это означает, что последовательность убывает на переходе от $n=2$ к $n=3$.

Поскольку последовательность и возрастает ($a_1 < a_2$), и убывает ($a_2 > a_3$), она не является ни неубывающей, ни невозрастающей. Следовательно, последовательность не является монотонной.

Ответ: Так как $a_1 = \frac{1}{3}$, $a_2 = 1$ и $a_3 = \frac{5}{7}$, выполняются неравенства $a_1 < a_2$ и $a_2 > a_3$. Это доказывает, что последовательность не является монотонной.