Номер 12.14, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.14. Выпишите первые шесть членов числовой последовательности, заданной рекуррентно:

1) $c_1 = 1$, $c_2 = 3$, $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$;

2) $c_1 = 2$, $c_2 = 3$, $c_{n+2} = 3c_{n+1} - 2c_n$;

3) $c_1 = -2$, $c_2 = 1$, $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$;

4) $c_1 = 4$, $c_2 = 7$, $c_{n+2} = c_{n+1} - 2c_n$.

1)

Дана числовая последовательность, в которой первые два члена равны $c_1 = 1$ и $c_2 = 3$, а каждый последующий член, начиная с третьего, вычисляется по рекуррентной формуле $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$.

Нам необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первые два члена уже известны: $c_1 = 1$, $c_2 = 3$.

Вычислим третий член ($c_3$), подставив в формулу $n=1$:

$c_3 = 2c_2 - c_1 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Вычислим четвертый член ($c_4$), подставив в формулу $n=2$:

$c_4 = 2c_3 - c_2 = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$.

Вычислим пятый член ($c_5$), подставив в формулу $n=3$:

$c_5 = 2c_4 - c_3 = 2 \cdot 7 - 5 = 14 - 5 = 9$.

Вычислим шестой член ($c_6$), подставив в формулу $n=4$:

$c_6 = 2c_5 - c_4 = 2 \cdot 9 - 7 = 18 - 7 = 11$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

2)

Дана числовая последовательность, в которой $c_1 = 2$, $c_2 = 3$ и рекуррентная формула $c_{n+2} = 3c_{n+1} - 2c_n$.

Первые два члена известны: $c_1 = 2$, $c_2 = 3$.

Вычислим последующие члены:

При $n=1$: $c_3 = 3c_2 - 2c_1 = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$.

При $n=2$: $c_4 = 3c_3 - 2c_2 = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 15 - 6 = 9$.

При $n=3$: $c_5 = 3c_4 - 2c_3 = 3 \cdot 9 - 2 \cdot 5 = 27 - 10 = 17$.

При $n=4$: $c_6 = 3c_5 - 2c_4 = 3 \cdot 17 - 2 \cdot 9 = 51 - 18 = 33$.

Первые шесть членов последовательности: 2, 3, 5, 9, 17, 33.

Ответ: 2, 3, 5, 9, 17, 33.

3)

Дана числовая последовательность, в которой $c_1 = -2$, $c_2 = 1$ и рекуррентная формула $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$.

Первые два члена известны: $c_1 = -2$, $c_2 = 1$.

Вычислим последующие члены:

При $n=1$: $c_3 = 2c_2 - c_1 = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

При $n=2$: $c_4 = 2c_3 - c_2 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.

При $n=3$: $c_5 = 2c_4 - c_3 = 2 \cdot 7 - 4 = 14 - 4 = 10$.

При $n=4$: $c_6 = 2c_5 - c_4 = 2 \cdot 10 - 7 = 20 - 7 = 13$.

Первые шесть членов последовательности: -2, 1, 4, 7, 10, 13.

Ответ: -2, 1, 4, 7, 10, 13.

4)

Дана числовая последовательность, в которой $c_1 = 4$, $c_2 = 7$ и рекуррентная формула $c_{n+2} = c_{n+1} - 2c_n$.

Первые два члена известны: $c_1 = 4$, $c_2 = 7$.

Вычислим последующие члены:

При $n=1$: $c_3 = c_2 - 2c_1 = 7 - 2 \cdot 4 = 7 - 8 = -1$.

При $n=2$: $c_4 = c_3 - 2c_2 = -1 - 2 \cdot 7 = -1 - 14 = -15$.

При $n=3$: $c_5 = c_4 - 2c_3 = -15 - 2 \cdot (-1) = -15 + 2 = -13$.

При $n=4$: $c_6 = c_5 - 2c_4 = -13 - 2 \cdot (-15) = -13 + 30 = 17$.

Первые шесть членов последовательности: 4, 7, -1, -15, -13, 17.

Ответ: 4, 7, -1, -15, -13, 17.