Номер 12.9, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.9. Какие формулы n-го члена задают:

а) возрастающие;

б) убывающие числовые последовательности:

1) $a_n = 3n - 7$;

2) $a_n = n^2 - 8$;

3) $a_n = 3\sqrt{n} + 4$;

4) $a_n = 1 + \frac{1}{n}$;

5) $a_n = 1 - \frac{1}{n+1}$;

6) $a_n = 1 + \frac{2}{2n+1}$?

Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей, необходимо сравнить $(n+1)$-й член с $n$-м членом. Если $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$, последовательность возрастающая. Если $a_{n+1} < a_n$, последовательность убывающая. Это эквивалентно проверке знака разности $a_{n+1} - a_n$.

а) возрастающие

Последовательность является возрастающей, если $a_{n+1} - a_n > 0$.

1) $a_n = 3n - 7$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 3(n+1) - 7 = 3n - 4$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (3n - 4) - (3n - 7) = 3$.
Так как разность $3 > 0$, последовательность является возрастающей.

2) $a_n = n^2 - 8$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 8 = n^2 + 2n + 1 - 8 = n^2 + 2n - 7$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n - 7) - (n^2 - 8) = 2n + 1$.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2n + 1$ всегда положительно. Следовательно, последовательность возрастающая.

3) $a_n = 3\sqrt{n} + 4$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 3\sqrt{n+1} + 4$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (3\sqrt{n+1} + 4) - (3\sqrt{n} + 4) = 3(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
Для любого натурального $n$, $n+1 > n$, поэтому $\sqrt{n+1} > \sqrt{n}$. Значит, разность $3(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) > 0$, и последовательность является возрастающей.

5) $a_n = 1 - \frac{1}{n+1}$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{(n+1)+1} = 1 - \frac{1}{n+2}$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (1 - \frac{1}{n+2}) - (1 - \frac{1}{n+1}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Так как $n \ge 1$, знаменатель $(n+1)(n+2)$ всегда положителен, значит и вся дробь положительна. Следовательно, последовательность возрастающая.

Ответ: 1, 2, 3, 5.

б) убывающие

Последовательность является убывающей, если $a_{n+1} - a_n < 0$.

4) $a_n = 1 + \frac{1}{n}$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (1 + \frac{1}{n+1}) - (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.
Так как $n \ge 1$, знаменатель $n(n+1)$ положителен. Значит, вся дробь отрицательна, и последовательность является убывающей.

6) $a_n = 1 + \frac{2}{2n+1}$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 1 + \frac{2}{2(n+1)+1} = 1 + \frac{2}{2n+3}$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (1 + \frac{2}{2n+3}) - (1 + \frac{2}{2n+1}) = \frac{2}{2n+3} - \frac{2}{2n+1} = \frac{2(2n+1) - 2(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{4n+2 - 4n-6}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{-4}{(2n+3)(2n+1)}$.
Так как $n \ge 1$, знаменатель $(2n+3)(2n+1)$ положителен. Значит, вся дробь отрицательна, и последовательность является убывающей.

Ответ: 4, 6.