Номер 12.8, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.8. Имеется ли в последовательности, заданной формулой n-го члена:

1) $a_n = 37 - 2n$ член, равный 17;

2) $a_n = 49 - 3n$ член, равный $-7$;

3) $a_n = 3n - 2n^2$ член, равный $-104$;

4) $a_n = \frac{4n + 3}{n + 1}$ член, равный 13?

1) $a_n = 37 - 2n$ член, равный 17;

Чтобы определить, является ли число 17 членом данной последовательности, необходимо выяснить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), при котором $a_n = 17$. Для этого решим уравнение:
$37 - 2n = 17$
Перенесем 17 влево, а $2n$ вправо:
$37 - 17 = 2n$
$20 = 2n$
$n = \frac{20}{2}$
$n = 10$
Поскольку мы получили натуральное число $n=10$, это означает, что член последовательности с номером 10 равен 17.
Ответ: да, является.

2) $a_n = 49 - 3n$ член, равный –7;

Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $a_n = -7$.
Составим и решим уравнение:
$49 - 3n = -7$
Перенесем -7 влево, а $3n$ вправо:
$49 + 7 = 3n$
$56 = 3n$
$n = \frac{56}{3}$
$n = 18\frac{2}{3}$
Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число, то число –7 не является членом данной последовательности.
Ответ: нет, не является.

3) $a_n = 3n - 2n^2$ член, равный –104;

Проверим, существует ли натуральное число $n$, такое что $a_n = -104$.
Составим уравнение:
$3n - 2n^2 = -104$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2n^2 - 3n - 104 = 0$
Решим это уравнение относительно $n$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-104) = 9 + 832 = 841$
Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{841}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 29}{4} = \frac{32}{4} = 8$
$n_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{841}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 29}{4} = \frac{-26}{4} = -6.5$
Корень $n_2 = -6.5$ не является натуральным числом, поэтому он не может быть номером члена последовательности. Корень $n_1 = 8$ является натуральным числом. Следовательно, число –104 является 8-м членом данной последовательности.
Ответ: да, является.

4) $a_n = \frac{4n + 3}{n + 1}$ член, равный 13?

Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого $a_n = 13$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{4n + 3}{n + 1} = 13$
Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и знаменатель $n+1$ не равен нулю. Можем умножить обе части уравнения на $(n+1)$:
$4n + 3 = 13(n + 1)$
$4n + 3 = 13n + 13$
Сгруппируем члены с $n$ и свободные члены:
$3 - 13 = 13n - 4n$
$-10 = 9n$
$n = -\frac{10}{9}$
Полученное значение $n$ является отрицательным и дробным, а не натуральным числом. Следовательно, число 13 не является членом данной последовательности.
Ответ: нет, не является.