Номер 12.12, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.12. Запишите шесть первых членов числовой последовательности, заданной рекуррентно:

1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 4;$

2) $a_1 = 4, a_{n+1} = 3a_n - 1;$

3) $a_1 = 5, a_{n+1} = 2a_n - 4;$

4) $a_1 = 88, a_{n+1} = 0.5 \cdot a_n.$

1) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 3$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = a_n + 4$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 3$.

Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$.

Аналогично находим остальные члены:

Третий член ($n=2$): $a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = a_4 + 4 = 15 + 4 = 19$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = a_5 + 4 = 19 + 4 = 23$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 3, 7, 11, 15, 19, 23.

Ответ: 3, 7, 11, 15, 19, 23.

2) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 4$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = 3a_n - 1$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 4$.

Последовательно вычисляем следующие члены:

Второй член ($n=1$): $a_2 = 3a_1 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11$.

Третий член ($n=2$): $a_3 = 3a_2 - 1 = 3 \cdot 11 - 1 = 33 - 1 = 32$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = 3a_3 - 1 = 3 \cdot 32 - 1 = 96 - 1 = 95$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = 3a_4 - 1 = 3 \cdot 95 - 1 = 285 - 1 = 284$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = 3a_5 - 1 = 3 \cdot 284 - 1 = 852 - 1 = 851$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 4, 11, 32, 95, 284, 851.

Ответ: 4, 11, 32, 95, 284, 851.

3) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 5$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = 2a_n - 4$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 5$.

Последовательно вычисляем следующие члены:

Второй член ($n=1$): $a_2 = 2a_1 - 4 = 2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$.

Третий член ($n=2$): $a_3 = 2a_2 - 4 = 2 \cdot 6 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = 2a_3 - 4 = 2 \cdot 8 - 4 = 16 - 4 = 12$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = 2a_4 - 4 = 2 \cdot 12 - 4 = 24 - 4 = 20$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = 2a_5 - 4 = 2 \cdot 20 - 4 = 40 - 4 = 36$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 5, 6, 8, 12, 20, 36.

Ответ: 5, 6, 8, 12, 20, 36.

4) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 88$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = 0,5 \cdot a_n$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 88$.

Последовательно вычисляем следующие члены:

Второй член ($n=1$): $a_2 = 0,5 \cdot a_1 = 0,5 \cdot 88 = 44$.

Третий член ($n=2$): $a_3 = 0,5 \cdot a_2 = 0,5 \cdot 44 = 22$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = 0,5 \cdot a_3 = 0,5 \cdot 22 = 11$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = 0,5 \cdot a_4 = 0,5 \cdot 11 = 5,5$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = 0,5 \cdot a_5 = 0,5 \cdot 5,5 = 2,75$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 88, 44, 22, 11, 5,5, 2,75.

Ответ: 88, 44, 22, 11, 5,5, 2,75.