Номер 12.7, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.7. Какие из следующих последовательностей являются:

а) возрастающими;

б) убывающими;

в) ни возрастающими и ни убывающими:

1) $-1; -5; -9; -13; -17;$

2) $\frac{2}{3}; \frac{2}{5}; \frac{2}{7}; \frac{2}{9}; \frac{2}{11};$

3) $-1; -\frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{64}; -\frac{1}{125};$

4) $-1; \frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; \frac{1}{64}; -\frac{1}{125}; \frac{1}{216};$

5) $\sqrt{3}; \sqrt{5}; \sqrt{7}; 3; \sqrt{11};$

6) $\frac{6}{13}; \frac{7}{14}; \frac{8}{15}; \frac{9}{16}; \frac{10}{17}; \frac{11}{18}?$

Для определения характера монотонности последовательности необходимо сравнить каждый следующий ее член с предыдущим. Последовательность является:

• возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$);
• убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего ($a_{n+1} < a_n$);
• ни возрастающей и ни убывающей, если не выполняется ни одно из этих условий (например, если знаки членов чередуются или последовательность немонотонна).

Проанализируем каждую последовательность:

1) $-1; -5; -9; -13; -17; \dots$
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -1$ и разностью $d = -5 - (-1) = -4$. Так как разность прогрессии отрицательна ($d < 0$), последовательность является убывающей. Каждый следующий член меньше предыдущего: $-1 > -5 > -9 > \dots$

2) $\frac{2}{3}; \frac{2}{5}; \frac{2}{7}; \frac{2}{9}; \frac{2}{11}; \dots$
Числитель дробей постоянен и равен 2, а знаменатели образуют возрастающую последовательность положительных чисел (3, 5, 7, 9, 11, ...). Для дробей с одинаковым положительным числителем, чем больше знаменатель, тем меньше сама дробь. Следовательно, последовательность является убывающей: $\frac{2}{3} > \frac{2}{5} > \frac{2}{7} > \dots$

3) $-1; -\frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{64}; -\frac{1}{125}; \dots$
Общий член последовательности можно записать как $a_n = -\frac{1}{n^3}$. Последовательность $b_n = \frac{1}{n^3}$ является убывающей, так как знаменатель $n^3$ возрастает. Тогда последовательность $a_n = -b_n$ является возрастающей. Сравним члены: $-1 < -\frac{1}{8} < -\frac{1}{27} < \dots$

4) $-1; \frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; \frac{1}{64}; -\frac{1}{125}; \frac{1}{216}; \dots$
Члены этой последовательности чередуют знаки. Сравним первые несколько членов: $a_1 = -1$, $a_2 = \frac{1}{8}$, $a_3 = -\frac{1}{27}$. Имеем $a_1 < a_2$ (так как $-1 < \frac{1}{8}$) и $a_2 > a_3$ (так как $\frac{1}{8} > -\frac{1}{27}$). Поскольку последовательность сначала возрастает, а потом убывает, она не является ни возрастающей, ни убывающей.

5) $\sqrt{3}; \sqrt{5}; \sqrt{7}; 3; \sqrt{11}; \dots$
Представим член $3$ в виде $\sqrt{9}$. Тогда последовательность примет вид: $\sqrt{3}; \sqrt{5}; \sqrt{7}; \sqrt{9}; \sqrt{11}; \dots$. Подкоренные выражения (3, 5, 7, 9, 11, ...) образуют возрастающую последовательность. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$. Следовательно, и сама последовательность является возрастающей.

6) $\frac{6}{13}; \frac{7}{14}; \frac{8}{15}; \frac{9}{16}; \frac{10}{17}; \frac{11}{18}; \dots$
Общий член последовательности $a_n = \frac{n+5}{n+12}$. Представим его в виде $a_n = \frac{n+12-7}{n+12} = 1 - \frac{7}{n+12}$. С увеличением $n$ знаменатель $n+12$ возрастает, значит, дробь $\frac{7}{n+12}$ убывает. Так как мы вычитаем из 1 все меньшее положительное число, результат $a_n$ будет возрастать. Следовательно, последовательность возрастающая.

а) возрастающими;

Возрастающими являются последовательности 3), 5), 6).

Ответ: 3, 5, 6.

б) убывающими;

Убывающими являются последовательности 1), 2).

Ответ: 1, 2.

в) ни возрастающими и ни убывающими:

Ни возрастающей, ни убывающей является последовательность 4).

Ответ: 4.