Номер 12.2, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.2. Найдите первые пять членов числовой последовательности $(a_n)$, если она задана с помощью формулы $n$-го члена:

1) $a_n = \frac{n}{\sqrt{n+1}}$;

2) $a_n = \frac{2n}{\sqrt{3n-1}}$;

3) $a_n = \frac{2n-1}{\sqrt{n+2}}$;

4) $a_n = \frac{3n}{\sqrt{2n-1}+1}$.

1) Чтобы найти первые пять членов последовательности $a_n = \frac{n}{\sqrt{n+1}}$, подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$ в формулу.
При $n=1$: $a_1 = \frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2}{\sqrt{2+1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3}{\sqrt{3+1}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{4}{\sqrt{4+1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{5}{\sqrt{5+1}} = \frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{5\sqrt{6}}{6}$.

2) Для последовательности $a_n = \frac{2n}{\sqrt{3n-1}}$ найдем первые пять членов:
При $n=1$: $a_1 = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3 \cdot 1 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3 \cdot 2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3 \cdot 3 - 1}} = \frac{6}{\sqrt{8}} = \frac{6}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3 \cdot 4 - 1}} = \frac{8}{\sqrt{11}} = \frac{8\sqrt{11}}{11}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{3 \cdot 5 - 1}} = \frac{10}{\sqrt{14}} = \frac{10\sqrt{14}}{14} = \frac{5\sqrt{14}}{7}$.
Ответ: $\sqrt{2}, \frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{8\sqrt{11}}{11}, \frac{5\sqrt{14}}{7}$.

3) Для последовательности $a_n = \frac{2n-1}{\sqrt{n+2}}$ найдем первые пять членов:
При $n=1$: $a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{\sqrt{1+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{\sqrt{2+2}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{\sqrt{3+2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{\sqrt{4+2}} = \frac{7}{\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{6}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{\sqrt{5+2}} = \frac{9}{\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{2}, \sqrt{5}, \frac{7\sqrt{6}}{6}, \frac{9\sqrt{7}}{7}$.

4) Для последовательности $a_n = \frac{3n}{\sqrt{2n-1}+1}$ найдем первые пять членов:
При $n=1$: $a_1 = \frac{3 \cdot 1}{\sqrt{2 \cdot 1 - 1}+1} = \frac{3}{\sqrt{1}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2 \cdot 2 - 1}+1} = \frac{6}{\sqrt{3}+1} = \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 3(\sqrt{3}-1)$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3 \cdot 3}{\sqrt{2 \cdot 3 - 1}+1} = \frac{9}{\sqrt{5}+1} = \frac{9(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{9(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{9(\sqrt{5}-1)}{4}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{2 \cdot 4 - 1}+1} = \frac{12}{\sqrt{7}+1} = \frac{12(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{12(\sqrt{7}-1)}{7-1} = 2(\sqrt{7}-1)$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot 5 - 1}+1} = \frac{15}{\sqrt{9}+1} = \frac{15}{3+1} = \frac{15}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{2}, 3(\sqrt{3}-1), \frac{9(\sqrt{5}-1)}{4}, 2(\sqrt{7}-1), \frac{15}{4}$.