Номер 9, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Составляется букет из пяти красных и четырех белых гвоздик.

Найдите число способов составления букета, если имеются 8 красных и 8 белых гвоздик:

A) 3920;

B) 4920;

C) 3650;

D) 4200.

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику, поскольку порядок цветов в букете не имеет значения. Мы должны найти число сочетаний для выбора красных и белых гвоздик по отдельности, а затем перемножить эти результаты, чтобы получить общее число способов составления букета.

1. Расчет количества способов выбрать красные гвоздики.

Нужно выбрать 5 красных гвоздик из 8 имеющихся. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 8 по 5. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Применим эту формулу для красных гвоздик, где $n=8$ и $k=5$:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$ способов.

2. Расчет количества способов выбрать белые гвоздики.

Нужно выбрать 4 белые гвоздики из 8 имеющихся. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 8 по 4. Применим ту же формулу, где $n=8$ и $k=4$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24} = 70$ способов.

3. Расчет общего количества способов составления букета.

Чтобы найти общее число способов составить букет, нужно перемножить количество способов выбора красных гвоздик на количество способов выбора белых гвоздик (согласно правилу произведения в комбинаторике), так как выбор цветов одного цвета не зависит от выбора цветов другого цвета.

Общее число способов = (Число способов выбрать красные гвоздики) $\times$ (Число способов выбрать белые гвоздики)

Общее число способов = $C_8^5 \times C_8^4 = 56 \times 70 = 3920$.

Таким образом, существует 3920 способов составить букет из пяти красных и четырех белых гвоздик, имея в наличии 8 красных и 8 белых гвоздик.

Ответ: 3920.