Номер 11.16, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.16. Установите закономерность в записи чисел:

1) 2; 4; 6; 8; 10; ... ;

2) 5; 10; 15; 20; 25; ... ;

3) 1; 4; 9; 16; 26; ... ;

4) 1; -1; 1; -1; 1; ... .

1) 2; 4; 6; 8; 10; ... ;
Рассмотрим данную последовательность чисел. Можно заметить, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число. Найдем эту разность:
$4 - 2 = 2$
$6 - 4 = 2$
$8 - 6 = 2$
$10 - 8 = 2$
Таким образом, каждый последующий член последовательности получается прибавлением числа 2 к предыдущему. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена такой прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получим: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$. Данная последовательность представляет собой ряд четных натуральных чисел.
Ответ: Каждый следующий член последовательности на 2 больше предыдущего. Это последовательность четных натуральных чисел, n-й член которой вычисляется по формуле $a_n = 2n$.

2) 5; 10; 15; 20; 25; ... ;
Рассмотрим данную последовательность. Найдем разность между соседними членами:
$10 - 5 = 5$
$15 - 10 = 5$
$20 - 15 = 5$
$25 - 20 = 5$
Каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 5$. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$. Эта последовательность состоит из натуральных чисел, кратных 5.
Ответ: Каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это последовательность натуральных чисел, кратных 5, n-й член которой вычисляется по формуле $a_n = 5n$.

3) 1; 4; 9; 16; 26; ... ;
Проанализируем члены данной последовательности.
Первый член: $1 = 1^2$
Второй член: $4 = 2^2$
Третий член: $9 = 3^2$
Четвертый член: $16 = 4^2$
Первые четыре члена являются квадратами их порядковых номеров. По этой закономерности, пятый член должен быть равен $5^2 = 25$. Однако в последовательности указано число 26. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что пятый член равен 25, то закономерность очевидна: каждый член последовательности является квадратом своего порядкового номера.
Ответ: Каждый член последовательности является квадратом своего порядкового номера $n$, то есть $a_n = n^2$. В условии, вероятно, допущена опечатка: пятый член должен быть 25, а не 26.

4) 1; –1; 1; –1; 1; ... .
Данная последовательность является знакочередующейся. Ее члены поочередно принимают значения 1 и –1.
Эту закономерность можно описать как умножение предыдущего члена на –1 для получения следующего:
$1 \cdot (-1) = -1$
$(-1) \cdot (-1) = 1$
$1 \cdot (-1) = -1$
Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и знаменателем $q = -1$. Формула n-го члена может быть записана как $a_n = (-1)^{n-1}$ или $a_n = (-1)^{n+1}$. Проверим формулу $a_n = (-1)^{n-1}$:
Для $n=1$: $a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$
Для $n=2$: $a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$
Для $n=3$: $a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$
Формула верна.
Ответ: Члены последовательности поочередно принимают значения 1 и –1, начиная с 1. Каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на –1. Формула n-го члена: $a_n = (-1)^{n-1}$.