Номер 11.10, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.10. Докажите, что верно равенство:

1) $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1};$

2) $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}.$

1)

Для доказательства равенства $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1}$ воспользуемся комбинаторным тождеством и свойствами биномиальных коэффициентов.

Левую часть равенства можно записать в виде суммы:

$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot C_n^k$

Используем формулу для биномиального коэффициента $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Преобразуем общий член суммы:

$k \cdot C_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = k \cdot \frac{n!}{k \cdot (k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

Вынесем $n$ из числителя $n! = n \cdot (n-1)!$ и перегруппируем знаменатель $n-k = (n-1) - (k-1)$:

$\frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}$

Выражение $\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}$ по определению является биномиальным коэффициентом $C_{n-1}^{k-1}$.

Таким образом, мы получили тождество: $k \cdot C_n^k = n \cdot C_{n-1}^{k-1}$.

Подставим это тождество в нашу исходную сумму:

$S = \sum_{k=1}^{n} n \cdot C_{n-1}^{k-1}$

Вынесем константу $n$ за знак суммы:

$S = n \cdot \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}$

Сделаем замену переменной суммирования $j=k-1$. Когда $k=1$, $j=0$. Когда $k=n$, $j=n-1$. Сумма примет вид:

$S = n \cdot \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$

Сумма $\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \dots + C_{n-1}^{n-1}$ представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $n-1$. Из формулы бинома Ньютона известно, что эта сумма равна $2^{n-1}$.

$\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = 2^{n-1}$

Подставляя это значение, получаем:

$S = n \cdot 2^{n-1}$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1}$.

2)

Для доказательства равенства $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}$ преобразуем его левую часть.

Запишем левую часть в виде суммы:

$S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) \cdot C_n^k$

Разобьем эту сумму на две:

$S = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k + \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot C_n^k$

Рассмотрим каждую сумму по отдельности.

Первая сумма: $\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k$. При $k=0$ первое слагаемое равно $0 \cdot C_n^0 = 0$, поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:

$\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = \sum_{k=1}^{n} k \cdot C_n^k = C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n$

Эта сумма является левой частью равенства из пункта 1), которое мы уже доказали. Следовательно:

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$

Вторая сумма: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Это сумма всех биномиальных коэффициентов для степени $n$. Из формулы бинома Ньютона следует, что эта сумма равна $2^n$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$

Теперь сложим результаты для обеих сумм:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2^n$

Преобразуем полученное выражение. Заметим, что $2^n = 2 \cdot 2^{n-1}$:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1}$

Вынесем общий множитель $2^{n-1}$ за скобки:

$S = (n+2) \cdot 2^{n-1}$

Мы получили правую часть исходного равенства. Что и требовалось доказать.

Ответ: $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}$.