Номер 11.9, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.9.1) Значение суммы биномиальных коэффициентов разложения бинома $(2na + \frac{1}{2na^2})^{3n}$ равно 64. Найдите слагаемое, не содержащее $a$.

2) Седьмое слагаемое разложения бинома $(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{a})^n$ не зависит от $a$. Найдите $n$.

1)

Сначала найдем значение $n$. Сумма биномиальных коэффициентов в разложении бинома $(x+y)^m$ равна $2^m$. В нашем случае бином имеет вид $(2na + \frac{1}{2na^2})^{3n}$, следовательно, его степень $m = 3n$.

По условию, сумма биномиальных коэффициентов равна 64. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$2^{3n} = 64$

Поскольку $64 = 2^6$, получаем:

$2^{3n} = 2^6$

$3n = 6$

$n = 2$

Теперь, когда мы нашли $n$, подставим его значение в исходное выражение. Степень бинома равна $3n = 3 \cdot 2 = 6$. Сам бином будет:

$(2 \cdot 2 \cdot a + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot a^2})^6 = (4a + \frac{1}{4a^2})^6$

Для нахождения слагаемого, не содержащего $a$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $T_{k+1} = C_m^k x^{m-k} y^k$.

В нашем случае $m=6$, $x=4a$, $y=\frac{1}{4a^2}$. Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_6^k (4a)^{6-k} (\frac{1}{4a^2})^k = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot a^{6-k} \cdot \frac{1}{4^k \cdot a^{2k}} = C_6^k \cdot 4^{6-k-k} \cdot a^{6-k-2k} = C_6^k \cdot 4^{6-2k} \cdot a^{6-3k}$

Слагаемое не содержит $a$, если степень $a$ равна нулю. Приравняем показатель степени $a$ к нулю и найдем $k$:

$6-3k = 0$

$3k = 6$

$k = 2$

Теперь найдем само слагаемое, подставив $k=2$ в формулу общего члена:

$T_{2+1} = T_3 = C_6^2 \cdot 4^{6-2 \cdot 2} \cdot a^{6-3 \cdot 2} = C_6^2 \cdot 4^{2} \cdot a^0 = C_6^2 \cdot 16$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Тогда искомое слагаемое равно:

$15 \cdot 16 = 240$

Ответ: 240

2)

Запишем разложение бинома $(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{a})^n$ в общем виде по формуле бинома Ньютона:

$(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{a})^n = (a^{\frac{1}{3}} + a^{-1})^n$

Формула для $(k+1)$-го члена разложения:

$T_{k+1} = C_n^k (a^{\frac{1}{3}})^{n-k} (a^{-1})^k$

Нам дан седьмой член разложения, значит $k+1 = 7$, откуда $k=6$. Подставим $k=6$ в формулу:

$T_7 = C_n^6 (a^{\frac{1}{3}})^{n-6} (a^{-1})^6 = C_n^6 a^{\frac{n-6}{3}} a^{-6} = C_n^6 a^{\frac{n-6}{3} - 6}$

По условию, седьмое слагаемое не зависит от $a$. Это означает, что показатель степени у $a$ должен быть равен нулю.

$\frac{n-6}{3} - 6 = 0$

Решим это уравнение относительно $n$:

$\frac{n-6}{3} = 6$

$n-6 = 18$

$n = 18 + 6$

$n = 24$

При этом должно выполняться условие $n \ge k$, то есть $24 \ge 6$, что верно.

Ответ: 24