Номер 11.11, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.11. Докажите, что для любого натурального $n > 1$ и любого положительного числа $x$ справедливо неравенство $(1 + x)^n > 1 + nx$.

Для доказательства неравенства $(1+x)^n > 1+nx$ при натуральном $n > 1$ и положительном $x$ воспользуемся методом математической индукции по переменной $n$.

1. База индукции

Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа $n$, удовлетворяющего условию $n > 1$, то есть для $n = 2$.

Подставим $n=2$ в исходное неравенство:

$(1+x)^2 > 1 + 2x$

Раскроем скобки в левой части выражения:

$1 + 2x + x^2 > 1 + 2x$

Вычтем $1 + 2x$ из обеих частей неравенства:

$x^2 > 0$

Согласно условию задачи, $x$ — положительное число ($x > 0$), следовательно, его квадрат $x^2$ также строго больше нуля. Таким образом, для $n=2$ неравенство является верным. База индукции установлена.

2. Индукционный переход

Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k$, где $k \ge 2$. Это наше индукционное предположение:

$(1+x)^k > 1 + kx$

Теперь докажем, что из этого предположения следует справедливость неравенства для следующего натурального числа, то есть для $n = k+1$. Нам нужно доказать, что:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Преобразуем левую часть этого неравенства:

$(1+x)^{k+1} = (1+x)^k \cdot (1+x)$

Используем индукционное предположение $(1+x)^k > 1+kx$. Так как по условию $x > 0$, то множитель $(1+x)$ также положителен. Умножим обе части неравенства индукционного предположения на $(1+x)$. Знак неравенства при этом не изменится:

$(1+x)^k \cdot (1+x) > (1+kx) \cdot (1+x)$

Таким образом, мы имеем:

$(1+x)^{k+1} > (1+kx)(1+x)$

Раскроем скобки в правой части полученного неравенства:

$(1+kx)(1+x) = 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k+1)x + kx^2$

Мы получили следующее соотношение:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2$

Нам нужно доказать, что $(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$. Сравним правую часть полученного нами неравенства с выражением $1 + (k+1)x$.

Поскольку $k \ge 2$ и $x > 0$, слагаемое $kx^2$ является строго положительным:

$kx^2 > 0$

Следовательно, справедливо неравенство:

$1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$

Объединяя результаты, мы можем составить цепочку неравенств:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$

Из этой цепочки по свойству транзитивности следует, что:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Это и есть то, что нам требовалось доказать на шаге индукционного перехода.

Заключение

Мы доказали, что неравенство верно для $n=2$ (база индукции), и показали, что если оно верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$ (индукционный переход). Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $(1+x)^n > 1+nx$ справедливо для любого натурального числа $n > 1$ и любого положительного числа $x$.

Ответ: Неравенство доказано.