Номер 11.13, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.13. Составьте задачу, которая решалась бы с помощью следующего

уравнения:

1) $ \frac{20}{x} + \frac{20}{x+2} = \frac{20}{8} $;

2) $ \frac{8}{x} + \frac{8}{x+12} = 1. $

1)

Для уравнения $\frac{20}{x} + \frac{20}{x+2} = \frac{20}{8}$ можно составить следующую задачу на производительность труда или скорость движения. Рассмотрим задачу на производительность.

Задача: Два оператора получили заказ набрать по 20 страниц текста каждому. Скорость набора второго оператора на 2 страницы в час выше, чем у первого. Сумма времени, которое первый оператор потратил на свою работу, и времени, которое потратил второй, оказалась равна времени, за которое 20 страниц набрал бы третий оператор, работающий со скоростью 8 страниц в час. Требуется найти скорость набора первого оператора.

Составление уравнения по условию задачи:
Пусть $x$ км/ч — скорость (производительность) первого оператора.
Тогда скорость второго оператора равна $(x+2)$ страниц в час.
Время, которое затратил первый оператор на набор 20 страниц, равно $t_1 = \frac{20}{x}$ часов.
Время, которое затратил второй оператор на набор 20 страниц, равно $t_2 = \frac{20}{x+2}$ часов.
Сумма их времени: $T_{сумма} = t_1 + t_2 = \frac{20}{x} + \frac{20}{x+2}$.
Время, которое затратил бы третий оператор со скоростью 8 стр/час на 20 страниц, равно $T_3 = \frac{20}{8}$ часов.
По условию задачи, $T_{сумма} = T_3$.
Таким образом, мы получаем математическую модель задачи в виде уравнения: $\frac{20}{x} + \frac{20}{x+2} = \frac{20}{8}$.

Ответ: Задача: Два оператора получили заказ набрать по 20 страниц текста каждому. Скорость набора второго оператора на 2 страницы в час выше, чем у первого. Сумма времени, которое первый оператор потратил на свою работу, и времени, которое потратил второй, оказалась равна времени, за которое 20 страниц набрал бы третий оператор, работающий со скоростью 8 страниц в час. Требуется найти скорость набора первого оператора.

2)

Для уравнения $\frac{8}{x} + \frac{8}{x+12} = 1$ можно составить классическую задачу на совместную работу.

Задача: Два трактора, работая совместно, вспахивают поле за 8 часов. Если они будут работать отдельно, то первому трактору потребуется на 12 часов больше, чем второму, чтобы вспахать то же поле. За сколько часов каждый трактор может вспахать поле, работая в одиночку?

Составление уравнения по условию задачи:
Примем всю работу по вспашке поля за 1.
Пусть второй (более производительный) трактор может вспахать все поле за $x$ часов. Тогда его производительность (часть поля, вспахиваемая за 1 час) равна $\frac{1}{x}$.
Первому трактору для выполнения той же работы требуется на 12 часов больше, то есть $(x+12)$ часов. Его производительность равна $\frac{1}{x+12}$.
При совместной работе их производительности складываются, и общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}$.
По условию, работая вместе, они вспахивают поле за 8 часов. Это означает, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{8}$ поля в час.
Приравняем два выражения для совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$.
Чтобы привести это уравнение к виду, данному в условии, умножим обе его части на 8:
$8 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}) = 8 \cdot \frac{1}{8}$
$\frac{8}{x} + \frac{8}{x+12} = 1$.
Это и есть требуемое уравнение.

Ответ: Задача: Два трактора, работая совместно, вспахивают поле за 8 часов. Если они будут работать отдельно, то первому трактору потребуется на 12 часов больше, чем второму, чтобы вспахать то же поле. За сколько часов каждый трактор может вспахать поле, работая в одиночку?