Номер 11.12, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.12. 1) Два токаря должны были изготовить определенное число деталей. После трехчасовой совместной работы работать продолжал только второй токарь, который проработал еще 4 часа. После этого задание оказалось перевыполненным на 12,5%. За какое время мог бы выполнить задание каждый токарь, если второму на это понадобится на 4 ч меньше, чем первому?

2) Слесарь может выполнить задание по обработке деталей на 15 ч быстрее, чем ученик. Если ученик отработает 18 ч, а слесарь продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то будет выполнено 0,6 всего задания. Сколько времени потребуется ученику для самостоятельного выполнения задания?

1)

Пусть вся работа, которую должны были выполнить токари, равна 1. Обозначим время, необходимое первому токарю для выполнения всей работы в одиночку, через $x$ часов, а время, необходимое второму токарю, — через $y$ часов.

Тогда производительность первого токаря составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго токаря — $\frac{1}{y}$ работы в час.

Из условия задачи известно, что второму токарю для выполнения задания требуется на 4 часа меньше, чем первому. Это можно записать в виде уравнения:

$y = x - 4$

Два токаря работали вместе 3 часа, после чего второй токарь работал один еще 4 часа. За это время они выполнили всю работу и перевыполнили ее на 12,5%. Общий объем выполненной работы составляет $1 + 0,125 = 1,125$. В виде обыкновенной дроби это $1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9}{8}$.

Составим уравнение, отражающее объем выполненной работы:

$3 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + 4 \cdot \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{3}{y} + \frac{4}{y} = \frac{9}{8}$

$\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = \frac{9}{8}$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} y = x - 4 \\ \frac{3}{x} + \frac{7}{y} = \frac{9}{8} \end{cases}$

Подставим $y = x - 4$ во второе уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{7}{x - 4} = \frac{9}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{3(x - 4) + 7x}{x(x - 4)} = \frac{9}{8}$

$\frac{3x - 12 + 7x}{x^2 - 4x} = \frac{9}{8}$

$\frac{10x - 12}{x^2 - 4x} = \frac{9}{8}$

Используя свойство пропорции, получим:

$8(10x - 12) = 9(x^2 - 4x)$

$80x - 96 = 9x^2 - 36x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 116x + 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-116)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 96 = 13456 - 3456 = 10000$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-116) + \sqrt{10000}}{2 \cdot 9} = \frac{116 + 100}{18} = \frac{216}{18} = 12$

$x_2 = \frac{-(-116) - \sqrt{10000}}{2 \cdot 9} = \frac{116 - 100}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

По условию $y = x - 4$. Так как время не может быть отрицательным ($y>0$), то $x$ должно быть больше 4. Корень $x_2 = \frac{8}{9}$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, подходит только $x_1 = 12$.

Время работы первого токаря — 12 часов. Найдем время работы второго токаря:

$y = 12 - 4 = 8$

Ответ: первый токарь мог бы выполнить задание за 12 часов, а второй — за 8 часов.

2)

Пусть вся работа по обработке деталей равна 1. Обозначим время, за которое ученик может выполнить все задание самостоятельно, через $u$ часов, а время, за которое слесарь может выполнить задание, — через $s$ часов.

Тогда производительность ученика составляет $\frac{1}{u}$ работы в час, а производительность слесаря — $\frac{1}{s}$ работы в час.

Из условия задачи известно, что слесарь выполняет задание на 15 часов быстрее ученика. Составим первое уравнение:

$s = u - 15$

Также известно, что если ученик работает 18 часов, а затем слесарь работает 6 часов, то вместе они выполняют 0,6 (или $\frac{3}{5}$) всего задания. Составим второе уравнение:

$18 \cdot \frac{1}{u} + 6 \cdot \frac{1}{s} = 0,6$

$\frac{18}{u} + \frac{6}{s} = \frac{3}{5}$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} s = u - 15 \\ \frac{18}{u} + \frac{6}{s} = \frac{3}{5} \end{cases}$

Подставим $s = u - 15$ во второе уравнение:

$\frac{18}{u} + \frac{6}{u - 15} = \frac{3}{5}$

Для удобства разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{6}{u} + \frac{2}{u - 15} = \frac{1}{5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $u(u-15)$:

$\frac{6(u - 15) + 2u}{u(u - 15)} = \frac{1}{5}$

$\frac{6u - 90 + 2u}{u^2 - 15u} = \frac{1}{5}$

$\frac{8u - 90}{u^2 - 15u} = \frac{1}{5}$

Используя свойство пропорции, получим:

$5(8u - 90) = 1(u^2 - 15u)$

$40u - 450 = u^2 - 15u$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$u^2 - 55u + 450 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 55, а их произведение — 450. Этим условиям удовлетворяют числа 45 и 10. Таким образом, $u_1 = 45$, $u_2 = 10$.

Проверим корни. По условию $s = u - 15$. Так как время $s$ должно быть положительным, $u$ должно быть больше 15. Корень $u_2 = 10$ не удовлетворяет этому условию, так как $s = 10 - 15 = -5$. Следовательно, этот корень является посторонним.

Единственное подходящее решение — $u = 45$. Это и есть время, необходимое ученику для самостоятельного выполнения задания.

Ответ: ученику потребуется 45 часов.