Номер 11.6, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.6. Найдите коэффициент при $x^3$ у многочлена $P(x):$

1) $P(x)=4x^3+(1+3x)^4;$
2) $P(x)=(3-2x)^5+2x^3+5;$
3) $P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4;$
4) $P(x)=(x+2)^5+(1-2x)^4-2x^3.$

1) Для многочлена $P(x)=4x^3 + (1+3x)^4$ коэффициент при $x^3$ является суммой коэффициентов при $x^3$ в каждом из слагаемых.
В слагаемом $4x^3$ коэффициент при $x^3$ равен $4$.
Для нахождения коэффициента при $x^3$ в слагаемом $(1+3x)^4$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.
В данном случае $a=1$, $b=3x$, и $n=4$. Нам нужен член разложения, содержащий $x^3$, что соответствует $k=3$.
Этот член равен $C_4^3 a^{4-3} b^3 = C_4^3 \cdot 1^1 \cdot (3x)^3 = C_4^3 \cdot 27x^3$.
Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^3$:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.
Коэффициент при $x^3$ во втором слагаемом равен $C_4^3 \cdot 27 = 4 \cdot 27 = 108$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен сумме коэффициентов: $4 + 108 = 112$.
Ответ: 112.

2) Для многочлена $P(x)=(3-2x)^5 + 2x^3 + 5$ коэффициент при $x^3$ равен сумме коэффициентов при $x^3$ в каждом из слагаемых.
В слагаемом $2x^3$ коэффициент при $x^3$ равен $2$.
В слагаемом $5$ (свободный член) коэффициент при $x^3$ равен $0$.
Для нахождения коэффициента при $x^3$ в слагаемом $(3-2x)^5$ используем формулу бинома Ньютона с параметрами $a=3$, $b=-2x$, и $n=5$. Нам нужен член разложения с $x^3$, что соответствует $k=3$.
Этот член равен $C_5^3 a^{5-3} b^3 = C_5^3 \cdot 3^2 \cdot (-2x)^3 = C_5^3 \cdot 9 \cdot (-8)x^3 = -72 \cdot C_5^3 x^3$.
Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^3$:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Коэффициент при $x^3$ в первом слагаемом равен $10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен сумме коэффициентов: $-720 + 2 + 0 = -718$.
Ответ: -718.

3) В многочлене $P(x)=(x+2)^5 - (2x+1)^4$ коэффициент при $x^3$ равен разности коэффициентов при $x^3$ в уменьшаемом и вычитаемом.
Сначала найдем коэффициент при $x^3$ в $(x+2)^5$. По формуле бинома Ньютона ($a=x, b=2, n=5$), член с $x^3$ получается, когда степень $x$ равна 3. Это соответствует члену $C_5^k a^{5-k} b^k$, где $5-k=3$, то есть $k=2$.
Член равен $C_5^2 x^3 \cdot 2^2 = 4 C_5^2 x^3$.
Вычислим $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Коэффициент при $x^3$ в $(x+2)^5$ равен $10 \cdot 4 = 40$.
Теперь найдем коэффициент при $x^3$ в $(2x+1)^4$. По формуле бинома Ньютона ($a=2x, b=1, n=4$), член с $x^3$ получается, когда степень $x$ равна 3. Это соответствует члену $C_4^k a^{4-k} b^k$, где степень $(2x)$ равна $3$, то есть $4-k=3$, откуда $k=1$.
Член равен $C_4^1 (2x)^3 \cdot 1^1 = C_4^1 \cdot 8x^3$.
Вычислим $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Коэффициент при $x^3$ в $(2x+1)^4$ равен $4 \cdot 8 = 32$.
Искомый коэффициент равен разности найденных коэффициентов: $40 - 32 = 8$.
Ответ: 8.

4) Для многочлена $P(x)=(x+2)^5 + (1-2x)^4 - 2x^3$ искомый коэффициент является алгебраической суммой коэффициентов при $x^3$ в каждом из членов.
Коэффициент при $x^3$ в члене $-2x^3$ равен $-2$.
Коэффициент при $x^3$ в $(x+2)^5$ был найден в предыдущем пункте и равен $40$.
Найдем коэффициент при $x^3$ в $(1-2x)^4$. По формуле бинома Ньютона ($a=1, b=-2x, n=4$), член с $x^3$ соответствует $k=3$.
Член равен $C_4^3 \cdot 1^{4-3} \cdot (-2x)^3 = C_4^3 \cdot 1 \cdot (-8)x^3 = -8 C_4^3 x^3$.
Вычислим $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Коэффициент при $x^3$ в $(1-2x)^4$ равен $4 \cdot (-8) = -32$.
Итоговый коэффициент равен сумме всех коэффициентов: $40 + (-32) - 2 = 40 - 32 - 2 = 8 - 2 = 6$.
Ответ: 6.