Номер 11.8, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.8. В разложении бинома $(x + \frac{1}{x})^{10}$ по степеням $x$ найдите одночлен:

1) содержащий $x^3$;

2) содержащий $x^4$;

3) содержащий $x^{-2}$;

4) содержащий $x$.

Для нахождения конкретного члена в разложении бинома $(x + \frac{1}{x})^{10}$ используется формула общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$. В данном случае $a=x$, $b=\frac{1}{x}=x^{-1}$ и $n=10$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для данного бинома имеет вид:$T_{k+1} = C_{10}^k (x)^{10-k} (\frac{1}{x})^k = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$, где $k$ — целое число от 0 до 10.

1) содержащий $x^3$
Чтобы найти одночлен, содержащий $x^3$, необходимо найти такое целое значение $k$, при котором показатель степени $x$ равен 3.
$10 - 2k = 3$
$2k = 10 - 3$
$2k = 7$
$k = 3.5$
Поскольку $k$ должно быть целым числом, в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x^3$.
Ответ: такого одночлена нет.

2) содержащий $x^4$
Найдем $k$, при котором показатель степени $x$ равен 4:
$10 - 2k = 4$
$2k = 10 - 4$
$2k = 6$
$k = 3$
Значение $k=3$ является целым и находится в пределах от 0 до 10. Следовательно, такой член существует. Это будет $T_{3+1} = T_4$.
Найдем его, подставив $k=3$ в формулу общего члена:
$T_4 = C_{10}^3 x^{10-2 \cdot 3} = C_{10}^3 x^4$
Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$
Таким образом, искомый одночлен равен $120x^4$.
Ответ: $120x^4$.

3) содержащий $x^{-2}$
Найдем $k$, при котором показатель степени $x$ равен -2:
$10 - 2k = -2$
$2k = 10 + 2$
$2k = 12$
$k = 6$
Значение $k=6$ является целым и находится в пределах от 0 до 10. Такой член существует. Это будет $T_{6+1} = T_7$.
Найдем его, подставив $k=6$ в формулу общего члена:
$T_7 = C_{10}^6 x^{10-2 \cdot 6} = C_{10}^6 x^{-2}$
Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^6$. Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$
Таким образом, искомый одночлен равен $210x^{-2}$.
Ответ: $210x^{-2}$.

4) содержащий $x$
Чтобы найти одночлен, содержащий $x$ (то есть $x^1$), найдем $k$, при котором показатель степени $x$ равен 1.
$10 - 2k = 1$
$2k = 10 - 1$
$2k = 9$
$k = 4.5$
Поскольку $k$ должно быть целым числом, в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x$.
Ответ: такого одночлена нет.