Номер 11.1, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.1. Найдите разложение следующих полиномов:

1) $(x+a)^5$;

2) $(3x+2a)^6$;

3) $(3x-a)^5$.

Для решения данной задачи используется формула бинома Ньютона:
$(u+v)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{n-k} v^k = C_n^0 u^n v^0 + C_n^1 u^{n-1} v^1 + \dots + C_n^n u^0 v^n$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Их можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(x+a)^5$
В этом случае $u=x$, $v=a$ и $n=5$.
Биномиальные коэффициенты для степени $n=5$ равны: $C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1$.
Подставляем значения в формулу бинома Ньютона:
$(x+a)^5 = C_5^0 x^5 a^0 + C_5^1 x^4 a^1 + C_5^2 x^3 a^2 + C_5^3 x^2 a^3 + C_5^4 x^1 a^4 + C_5^5 x^0 a^5$
$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot a + 10 \cdot x^3 \cdot a^2 + 10 \cdot x^2 \cdot a^3 + 5 \cdot x \cdot a^4 + 1 \cdot 1 \cdot a^5$
$= x^5 + 5x^4a + 10x^3a^2 + 10x^2a^3 + 5xa^4 + a^5$.
Ответ: $x^5 + 5x^4a + 10x^3a^2 + 10x^2a^3 + 5xa^4 + a^5$.

2) $(3x+2a)^6$
Здесь $u=3x$, $v=2a$ и $n=6$.
Биномиальные коэффициенты для степени $n=6$ равны: $C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1$.
Подставляем значения в формулу:
$(3x+2a)^6 = C_6^0(3x)^6(2a)^0 + C_6^1(3x)^5(2a)^1 + C_6^2(3x)^4(2a)^2 + C_6^3(3x)^3(2a)^3 + C_6^4(3x)^2(2a)^4 + C_6^5(3x)^1(2a)^5 + C_6^6(3x)^0(2a)^6$.
Выполняем вычисления для каждого члена разложения:
$= 1 \cdot (3^6 x^6) + 6 \cdot (3^5 x^5)(2a) + 15 \cdot (3^4 x^4)(2^2 a^2) + 20 \cdot (3^3 x^3)(2^3 a^3) + 15 \cdot (3^2 x^2)(2^4 a^4) + 6 \cdot (3x)(2^5 a^5) + 1 \cdot (2^6 a^6)$
$= 1 \cdot 729x^6 + 6 \cdot 243x^5 \cdot 2a + 15 \cdot 81x^4 \cdot 4a^2 + 20 \cdot 27x^3 \cdot 8a^3 + 15 \cdot 9x^2 \cdot 16a^4 + 18x \cdot 32a^5 + 64a^6$
$= 729x^6 + 2916x^5a + 4860x^4a^2 + 4320x^3a^3 + 2160x^2a^4 + 576xa^5 + 64a^6$.
Ответ: $729x^6 + 2916x^5a + 4860x^4a^2 + 4320x^3a^3 + 2160x^2a^4 + 576xa^5 + 64a^6$.

3) $(3x-a)^5$
В данном случае $u=3x$, $v=-a$ и $n=5$.
Биномиальные коэффициенты для $n=5$ те же: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
Так как второй член бинома отрицательный, знаки в разложении будут чередоваться.
$(3x-a)^5 = C_5^0(3x)^5(-a)^0 + C_5^1(3x)^4(-a)^1 + C_5^2(3x)^3(-a)^2 + C_5^3(3x)^2(-a)^3 + C_5^4(3x)^1(-a)^4 + C_5^5(3x)^0(-a)^5$.
Вычисляем каждый член:
$= 1 \cdot (3^5 x^5) - 5 \cdot (3^4 x^4)a + 10 \cdot (3^3 x^3)a^2 - 10 \cdot (3^2 x^2)a^3 + 5 \cdot (3x)a^4 - 1 \cdot a^5$
$= 1 \cdot 243x^5 - 5 \cdot 81x^4a + 10 \cdot 27x^3a^2 - 10 \cdot 9x^2a^3 + 15xa^4 - a^5$
$= 243x^5 - 405x^4a + 270x^3a^2 - 90x^2a^3 + 15xa^4 - a^5$.
Ответ: $243x^5 - 405x^4a + 270x^3a^2 - 90x^2a^3 + 15xa^4 - a^5$.