Номер 10.15, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.15. 1) Решите неравенство $\frac{1}{x^2 - 2x} - \frac{3}{(x - 5)(x - 2)} \le \frac{2}{x - 5}$ и найдите значение суммы целых решений, принадлежащих отрезку $[-1; 6]$.

2) Решите неравенство $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{6}{(x + 5)(x + 2)} \le \frac{2}{x + 5}$ и найдите значение суммы целых решений, принадлежащих отрезку $[-4; 4]$.

1) Решим неравенство $\frac{1}{x^2 - 2x} - \frac{3}{(x-5)(x-2)} \le \frac{2}{x-5}$.

Сначала разложим знаменатели на множители и определим область допустимых значений (ОДЗ).
$x^2 - 2x = x(x-2)$.
Знаменатели обращаются в ноль при $x=0$, $x=2$ и $x=5$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq 5$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $x(x-2)(x-5)$: $\frac{1}{x(x-2)} - \frac{3}{(x-5)(x-2)} - \frac{2}{x-5} \le 0$

$\frac{1(x-5) - 3x - 2x(x-2)}{x(x-2)(x-5)} \le 0$

$\frac{x - 5 - 3x - 2x^2 + 4x}{x(x-2)(x-5)} \le 0$

$\frac{-2x^2 + 2x - 5}{x(x-2)(x-5)} \le 0$

Рассмотрим числитель $-2x^2 + 2x - 5$. Найдем его дискриминант: $D = 2^2 - 4(-2)(-5) = 4 - 40 = -36$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $-2 < 0$, числитель $-2x^2 + 2x - 5$ всегда отрицателен при любом значении $x$.

Поскольку числитель всегда отрицательный, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положительным (так как частное отрицательного и положительного числа отрицательно).
$x(x-2)(x-5) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни знаменателя: $0, 2, 5$. Нанесем их на числовую ось.

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (0, 2) \cup (5, \infty)$.

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-1; 6]$.
Из интервала $(0, 2)$ целым решением является $x=1$.
Из интервала $(5, \infty)$ в отрезок $[-1; 6]$ попадает только целое число $x=6$.
Целые решения: $1$ и $6$.

Сумма этих целых решений: $1 + 6 = 7$.

Ответ: решением неравенства является $x \in (0, 2) \cup (5, \infty)$; сумма целых решений из отрезка $[-1; 6]$ равна 7.

2) Решим неравенство $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{6}{(x+5)(x+2)} \le \frac{2}{x+5}$.

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ.
$x^2 + 2x = x(x+2)$.
Знаменатели обращаются в ноль при $x=0$, $x=-2$, $x=-5$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq -5$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $x(x+2)(x+5)$: $\frac{1}{x(x+2)} - \frac{6}{(x+5)(x+2)} - \frac{2}{x+5} \le 0$

$\frac{1(x+5) - 6x - 2x(x+2)}{x(x+2)(x+5)} \le 0$

$\frac{x + 5 - 6x - 2x^2 - 4x}{x(x+2)(x+5)} \le 0$

$\frac{-2x^2 - 9x + 5}{x(x+2)(x+5)} \le 0$

Найдем корни числителя $-2x^2 - 9x + 5 = 0$, или $2x^2 + 9x - 5 = 0$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-9-11}{4} = -5$, $x_2 = \frac{-9+11}{4} = \frac{1}{2}$.
Тогда числитель раскладывается на множители: $-2(x+5)(x-\frac{1}{2}) = -(x+5)(2x-1)$.

Подставим в неравенство:
$\frac{-(x+5)(2x-1)}{x(x+2)(x+5)} \le 0$.

С учетом ОДЗ ($x \neq -5$), мы можем сократить дробь на $(x+5)$:
$\frac{-(2x-1)}{x(x+2)} \le 0$.
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$\frac{2x-1}{x(x+2)} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=\frac{1}{2}$ (включительно), $x=0$ (исключительно), $x=-2$ (исключительно).

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-2, 0) \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-4; 4]$.
Из интервала $(-2, 0)$ целым решением является $x=-1$.
Из полуинтервала $[\frac{1}{2}, \infty)$ в отрезок $[-4; 4]$ попадают целые числа $x=1, 2, 3, 4$.
Все целые решения: $-1, 1, 2, 3, 4$.

Сумма этих целых решений: $-1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9$.

Ответ: решением неравенства является $x \in (-2, 0) \cup [\frac{1}{2}, \infty)$; сумма целых решений из отрезка $[-4; 4]$ равна 9.