Номер 10.13, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.13. Из 25 вопросов к экзамену ученик 18 выучил, 4 совсем не знает, остальные — знает слабо. На экзамене в билетах будет три вопроса.

1) Найдите количество возможных вариантов билета.

2) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

3) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

Для решения задачи сначала определим количество вопросов каждого типа:

Всего вопросов: 25.

Выученных вопросов: 18.

Вопросов, которые ученик совсем не знает: 4.

Вопросов, которые ученик знает слабо: $25 - 18 - 4 = 3$.

В каждом экзаменационном билете 3 вопроса.

1) Найдите количество возможных вариантов билета.

Количество возможных вариантов билета — это число сочетаний из 25 вопросов по 3. Порядок вопросов в билете не имеет значения, поэтому мы используем формулу для нахождения числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n = 25$ и $k = 3$.

$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3! \cdot 22!} = \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 23 \cdot 4 \cdot 25 = 2300$.

Таким образом, существует 2300 различных вариантов билета.

Ответ: 2300.

2) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

Для того чтобы ученик знал ответы на все вопросы, все три вопроса в билете должны быть выбраны из 18 выученных им вопросов. Снова используем формулу числа сочетаний, где $n = 18$ и $k = 3$.

$C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 16 \cdot 17 \cdot 3 = 816$.

Следовательно, существует 816 вариантов билетов, на все вопросы которых ученик знает ответ.

Ответ: 816.

3) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

Чтобы в билете были вопросы всех трех типов, он должен содержать один выученный вопрос, один неизвестный вопрос и один слабо известный вопрос. Для нахождения общего числа таких вариантов используем правило произведения в комбинаторике.

Число способов выбрать 1 вопрос из 18 выученных: $C_{18}^1 = 18$.

Число способов выбрать 1 вопрос из 4 неизвестных: $C_4^1 = 4$.

Число способов выбрать 1 вопрос из 3 слабо известных: $C_3^1 = 3$.

Общее количество таких билетов равно произведению этих способов:

$N = C_{18}^1 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1 = 18 \cdot 4 \cdot 3 = 216$.

Значит, существует 216 вариантов билетов, которые содержат вопросы всех трех типов.

Ответ: 216.