Номер 10.7, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.7. На графике функции $y = ax^2 + bx + c$ последовательно отмечены точки $A_1, A_2, \ldots, A_{11}, A_{12}$. Найдите:

1) число отрезков с концами в этих точках;

2) число треугольников с вершинами в этих точках.

1) число отрезков с концами в этих точках;
На графике функции дано 12 различных точек: $A_1, A_2, ..., A_{12}$.
Отрезок однозначно определяется двумя точками, которые являются его концами. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок $A_1A_2$ — это тот же самый отрезок, что и $A_2A_1$). Следовательно, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 12 имеющихся. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае общее число точек $n = 12$, а для построения отрезка нужно выбрать $k = 2$ точки.
Подставляем значения в формулу:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$.
Таким образом, можно построить 66 отрезков.
Ответ: 66

2) число треугольников с вершинами в этих точках.
Треугольник определяется тремя точками, которые не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными).
Все 12 точек лежат на графике квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, который является параболой (при условии, что $a \neq 0$). Любая прямая может пересекать параболу не более чем в двух точках. Это означает, что никакие три точки, взятые на параболе, не могут быть коллинеарными.
Следовательно, любые три точки из данных 12 образуют треугольник. Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 3 точки из 12.
Мы снова используем формулу для числа сочетаний, где $n = 12$, а для построения треугольника нужно выбрать $k = 3$ точки.
Подставляем значения в формулу:
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$.
Таким образом, можно построить 220 треугольников.
Ответ: 220