Номер 10.1, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{P_7}{P_4}$;

2) $\frac{A_6^5}{P_7}$;

3) $1 + \frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$;

4) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5} - 2.

1) Для решения используем формулу числа перестановок $P_n = n!$.
Выражение $\frac{P_7}{P_4}$ можно записать как $\frac{7!}{4!}$.
Расписываем факториалы и сокращаем:
$\frac{7!}{4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$.
Ответ: $210$.

2) Используем формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Сначала найдем значение $A_6^5$:
$A_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6!$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{A_6^5}{P_7} = \frac{6!}{7!} = \frac{6!}{6! \cdot 7} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

3) Вычислим значение каждой дроби по отдельности, используя свойство факториала $n! = (n-1)! \cdot n$.
$\frac{P_8}{P_7} = \frac{8!}{7!} = \frac{7! \cdot 8}{7!} = 8$.
$\frac{P_5}{P_6} = \frac{5!}{6!} = \frac{5!}{5! \cdot 6} = \frac{1}{6}$.
Теперь подставим полученные значения в выражение и выполним сложение:
$1 + \frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6} = 1 + 8 + \frac{1}{6} = 9 + \frac{1}{6} = 9\frac{1}{6}$.
Ответ: $9\frac{1}{6}$.

4) Вычислим значение каждой дроби по отдельности.
$\frac{P_9}{P_7} = \frac{9!}{7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9}{7!} = 8 \cdot 9 = 72$.
$\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!} = 6 \cdot 7 = 42$.
Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5} - 2 = 72 - 42 - 2 = 30 - 2 = 28$.
Ответ: $28$.