Номер 10.3, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.3. Решите уравнение:

1) $A_x^1 = 5;$

2) $A_x^1 = 5x;$

3) $A_x^2 = 5x;$

4) $A_x^2 = 4x + 24.$

1) $A_x^1 = 5$

Число размещений из $x$ элементов по $k$ определяется по формуле $A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!}$. Для того чтобы выражение $A_x^k$ имело смысл, необходимо, чтобы $x$ было целым числом и выполнялось условие $x \ge k$.

В данном случае $k=1$, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием $x \ge 1$, где $x$ — целое число.

Преобразуем левую часть уравнения: $A_x^1 = \frac{x!}{(x-1)!} = \frac{x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} = x$.

Тогда исходное уравнение принимает вид: $x = 5$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Число 5 является целым и $5 \ge 1$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=5$.

2) $A_x^1 = 5x$

ОДЗ для данного уравнения: $x$ — целое число и $x \ge 1$.

Как и в предыдущем пункте, $A_x^1 = x$.

Подставим это в уравнение: $x = 5x$

$5x - x = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Число 0 не удовлетворяет условию $x \ge 1$. Следовательно, уравнение не имеет решений в своей области определения.

Ответ: корней нет.

3) $A_x^2 = 5x$

ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 2$.

Преобразуем левую часть уравнения: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Подставим это в исходное уравнение: $x(x-1) = 5x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x - 5x = 0$

$x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x-6) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, поэтому это посторонний корень. $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 2$ (6 — целое число и $6 \ge 2$), поэтому это решение.

Ответ: $x=6$.

4) $A_x^2 = 4x + 24$

ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 2$.

Как и в предыдущем пункте, $A_x^2 = x(x-1)$.

Подставим это в уравнение: $x(x-1) = 4x + 24$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - x = 4x + 24$

$x^2 - x - 4x - 24 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 11}{2}$.

$x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 2$ (8 — целое число и $8 \ge 2$), поэтому это решение. $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, поэтому это посторонний корень.

Ответ: $x=8$.