Номер 9.10, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.10. Запишите систему неравенств, задающих на плоскости множество точек, показанных на рисунке 24.

1)

$ x^2 + y^2 < 9 $

$ x + y \le 3 $

2)

$ 1 < x^2 + y^2 < 9 $

Рис. 24

1)

Заштрихованная область на рисунке 1 ограничена окружностью и прямой. Для того чтобы задать это множество точек, необходимо составить систему из двух неравенств.

1. Окружность.Центр окружности находится в начале координат $O(0, 0)$. Из рисунка видно, что радиус окружности равен 2 (она проходит через точки $(2, 0)$, $(0, 2)$ и т.д.). Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r$ имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$. Для нашего случая уравнение: $x^2 + y^2 = 2^2$ или $x^2 + y^2 = 4$. Так как граница окружности изображена пунктирной линией, точки на самой окружности не принадлежат множеству, поэтому неравенство будет строгим. Заштрихованная область находится внутри окружности, следовательно, первое неравенство: $x^2 + y^2 < 4$.

2. Прямая.Прямая проходит через точки $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Подставим наши точки: $\frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 0}{2 - 0}$, что дает $\frac{x - 2}{-2} = \frac{y}{2}$, и после упрощения получаем $x + y = 2$. Граница прямая сплошная, значит, точки на прямой принадлежат множеству, и неравенство будет нестрогим. Заштрихованная область находится ниже прямой. Для определения знака неравенства возьмем пробную точку из области, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляя в уравнение, получаем $0 + 0 = 0$. Так как $0 \le 2$, неравенство имеет вид $x + y \le 2$.

Объединяя оба условия, получаем искомую систему неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ x + y \le 2 \end{cases}$

2)

Заштрихованная область на рисунке 2 представляет собой кольцо (математически — аннулус), заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат $O(0, 0)$.

1. Внутренняя окружность.Радиус внутренней окружности $r_1=1$. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 1^2$, то есть $x^2 + y^2 = 1$. Граница этой окружности пунктирная, а заштрихованная область находится снаружи от нее. Следовательно, точки на окружности не включаются, и мы получаем строгое неравенство $x^2 + y^2 > 1$.

2. Внешняя окружность.Радиус внешней окружности $r_2=2$. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 2^2$, то есть $x^2 + y^2 = 4$. Граница этой окружности также пунктирная, а заштрихованная область находится внутри нее. Следовательно, точки на окружности не включаются, и мы получаем строгое неравенство $x^2 + y^2 < 4$.

Множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Это можно записать в виде системы или двойного неравенства.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 > 1 \\ x^2 + y^2 < 4 \end{cases}$, или в виде двойного неравенства: $1 < x^2 + y^2 < 4$.