Номер 9.7, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.7. На окружности последовательно отмечены точки $A_1$, $A_2$, ..., $A_{11}$, $A_{12}$. Найдите:

1) число хорд с концами в этих точках;

2) число треугольников с вершинами в этих точках.

1) число хорд с концами в этих точках

На окружности отмечено 12 точек. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Следовательно, чтобы найти общее количество хорд, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 12 имеющихся. Поскольку порядок выбора точек не имеет значения (хорда, соединяющая точки $A_i$ и $A_j$, это та же самая хорда, что и соединяющая $A_j$ и $A_i$), мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n = 12$, а для построения хорды нужно выбрать $k = 2$ точки. Подставляем эти значения в формулу: $C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 1 \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 6 \cdot 11 = 66$.

Таким образом, можно построить 66 различных хорд.

Ответ: 66.

2) число треугольников с вершинами в этих точках

Треугольник образуется тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Поскольку все 12 точек лежат на окружности, любые три из них не будут коллинеарными и, следовательно, всегда будут образовывать треугольник. Задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 3 вершины для треугольника из 12 доступных точек. Порядок выбора вершин также не имеет значения.

Мы снова используем формулу для числа сочетаний, но теперь для выбора $k = 3$ точек из $n = 12$. $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем значения $n=12$ и $k=3$: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Таким образом, можно построить 220 различных треугольников.

Ответ: 220.