Номер 9.3, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.3. Докажите равенство:

1) $C_8^4 + C_8^3 = C_9^4;$

2) $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5;$

3) $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + ... + C_6^6 = 64.$

1) Для доказательства данного равенства воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В нашем случае $n=8$ и $k=4$. Подставим эти значения в тождество:$C_8^4 + C_8^{4-1} = C_{8+1}^4$,что эквивалентно$C_8^4 + C_8^3 = C_9^4$.Равенство доказано.
В качестве альтернативы, можно вычислить значения напрямую.Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70$.$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56$.$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126$.Проверяем равенство: $70 + 56 = 126$. Равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства воспользуемся тождеством Паскаля $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$ дважды.Сначала сгруппируем первые два слагаемых: $(C_8^4 + C_8^3) + C_9^5$.Как мы показали в пункте 1), $C_8^4 + C_8^3 = C_9^4$.Подставим это в выражение: $C_9^4 + C_9^5$.Теперь снова применим тождество Паскаля. Для $n=9$ и $k=5$ (или $k-1=4$) имеем:$C_9^5 + C_9^4 = C_{9+1}^5 = C_{10}^5$.Таким образом, мы доказали, что $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$.
Ответ: Равенство доказано.

3) Данное равенство является частным случаем свойства биномиальных коэффициентов, которое вытекает из формулы бинома Ньютона:$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.Если в этой формуле положить $a=1$ и $b=1$, то мы получим:$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} 1^k$,то есть, $2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$.В нашем случае $n=6$. Подставляя это значение, получаем:$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + \dots + C_6^6 = 2^6$.Вычислим $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.Следовательно, $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + \dots + C_6^6 = 64$.
Ответ: Равенство доказано.