Номер 9.1, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.1. Вычислите: 1) $C_5^4$; 2) $C_5^3$; 3) $C_6^3$; 4) $C_{11}^9$.

Для вычисления числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $C_n^k$) используется следующая формула:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$где $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.Также полезно помнить свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

1) Вычислим $C_5^4$.
Здесь $n=5$ и $k=4$. Подставляем значения в формулу:
$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!}$
Расписывая факториалы, получаем:
$C_5^4 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1}$
Сокращая $4!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$C_5^4 = \frac{5}{1} = 5$
Можно также использовать свойство симметрии, что упрощает вычисления:
$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$
Ответ: 5

2) Вычислим $C_5^3$.
Здесь $n=5$ и $k=3$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}$
Расписываем факториалы и сокращаем:
$C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Ответ: 10

3) Вычислим $C_6^3$.
Здесь $n=6$ и $k=3$.
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!}$
Расписываем факториалы и сокращаем:
$C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 5 \times 4 = 20$
Ответ: 20

4) Вычислим $C_{11}^9$.
Здесь $n=11$ и $k=9$.
Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{11}^9 = C_{11}^{11-9} = C_{11}^2$
Теперь вычислим $C_{11}^2$:
$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!}$
Расписываем факториалы и сокращаем:
$C_{11}^2 = \frac{11 \times 10 \times 9!}{2 \times 1 \times 9!} = \frac{11 \times 10}{2} = 11 \times 5 = 55$
Ответ: 55