Номер 9.8, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*9.8. Прямые a и b параллельны. На прямой a отмечено 6 точек, а на прямой b отмечено 9 точек. Найдите:

1) число треугольников с вершинами в этих точках;

2) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой).

Пусть на параллельных прямых $a$ и $b$ задано множество точек. На прямой $a$ — 6 точек, а на прямой $b$ — 9 точек.

1) число треугольников с вершинами в этих точках;

Для образования треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые не лежат на одной прямой. Это значит, что нельзя выбирать все три вершины с одной и той же прямой. Используем комбинаторный подход. Существует два возможных сценария выбора вершин:

Сценарий 1: Две вершины на прямой $a$ и одна вершина на прямой $b$.
Количество способов выбрать 2 точки из 6 на прямой $a$ определяется числом сочетаний $C_6^2$:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ способов.
Количество способов выбрать 1 точку из 9 на прямой $b$ равно $C_9^1 = 9$ способов.
Общее число треугольников для этого сценария: $15 \times 9 = 135$.

Сценарий 2: Одна вершина на прямой $a$ и две вершины на прямой $b$.
Количество способов выбрать 1 точку из 6 на прямой $a$ равно $C_6^1 = 6$ способов.
Количество способов выбрать 2 точки из 9 на прямой $b$ равно $C_9^2$:
$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ способов.
Общее число треугольников для этого сценария: $6 \times 36 = 216$.

Итоговое количество треугольников — это сумма треугольников из обоих сценариев:
$135 + 216 = 351$.
Ответ: 351

2) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой).

Выпуклый четырехугольник можно образовать, выбрав 4 точки. Условие, что никакие три вершины не лежат на одной прямой, означает, что для построения четырехугольника мы должны выбрать две вершины с прямой $a$ и две вершины с прямой $b$. Любая такая комбинация из четырех точек будет образовывать выпуклый четырехугольник (трапецию), поскольку его основания будут лежать на параллельных прямых.

Найдем количество способов выбрать 2 вершины из 6 на прямой $a$:
$C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ способов.

Найдем количество способов выбрать 2 вершины из 9 на прямой $b$:
$C_9^2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ способов.

Чтобы найти общее число четырехугольников, нужно перемножить количество способов выбора точек с каждой прямой:
$N = C_6^2 \times C_9^2 = 15 \times 36 = 540$.
Ответ: 540