Номер 9.9, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.9. Разложите многочлен на множители:

1) $x^3 + 3x - 4$;

2) $x^3 + 2x^2 - 3x - 6$;

3) $x^3 + 3x^2 + 3x + 9$;

4) $x^4 - 3x^2 - 4$.

1) Для разложения многочлена $x^3 + 3x - 4$ на множители найдем его целый корень. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена $-4$. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем многочлена, а $(x-1)$ — его множителем.
Чтобы найти второй множитель, можно выполнить деление многочлена $x^3 + 3x - 4$ на $(x-1)$ или сгруппировать слагаемые. Воспользуемся методом группировки, представив $-4$ как $-1-3$ и $3x$ как $-x+4x$, но проще всего представить $-4$ как $-1-3$ и сгруппировать с $x^3$.
$x^3 + 3x - 4 = x^3 - 1 + 3x - 3$
Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 1) + (3x - 3)$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к первому слагаемому и вынесем общий множитель из второго: $(x-1)(x^2+x+1) + 3(x-1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки: $(x-1)((x^2+x+1) + 3) = (x-1)(x^2+x+4)$.
Квадратный трехчлен $x^2+x+4$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$.
Ответ: $(x-1)(x^2+x+4)$.

2) Для разложения многочлена $x^3 + 2x^2 - 3x - 6$ воспользуемся методом группировки.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(x^3 + 2x^2) + (-3x - 6)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x + 2) - 3(x + 2)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки: $(x+2)(x^2 - 3)$.
Множитель $(x^2 - 3)$ можно разложить дальше по формуле разности квадратов как $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$, но в рамках разложения на множители с рациональными коэффициентами полученный вид является окончательным.
Ответ: $(x+2)(x^2-3)$.

3) Для разложения многочлена $x^3 + 3x^2 + 3x + 9$ также используем метод группировки.
Сгруппируем слагаемые: $(x^3 + 3x^2) + (3x + 9)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x + 3) + 3(x + 3)$.
Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки: $(x+3)(x^2 + 3)$.
Многочлен $x^2+3$ не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен) и, следовательно, не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $(x+3)(x^2+3)$.

4) Многочлен $x^4 - 3x^2 - 4$ является биквадратным. Для его разложения на множители сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда многочлен принимает вид:
$y^2 - 3y - 4$.
Это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, произведение корней равно $-4$, а сумма равна $3$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.
Тогда разложение для $y$ будет иметь вид: $(y - 4)(y - (-1)) = (y-4)(y+1)$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$ обратно:
$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$.
Первый множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-2)(x+2)$.
Второй множитель $(x^2 + 1)$ не имеет действительных корней и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$(x-2)(x+2)(x^2+1)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2+1)$.