Номер 9.11, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.11. Решите уравнение с помощью замены переменной:

1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0;$

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0;$

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14;$

4) $x - 5 + 2\sqrt{x-5} = 8.$

1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$(x^2)^2 - 7x^2 - 18 = 0$

$t^2 - 7t - 18 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = t_2$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Ответ: $-3; 3$.

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t - 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-45$. Подбором находим корни $t_1 = -9$ и $t_2 = 5$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

$t_1 = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$t_2 = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Корень $t_1 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 5$

$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14$

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$.

Уравнение принимает вид: $x^2 - 4x - 3|x-2| = 14$.

Выделим полный квадрат в выражении $x^2 - 4x$:

$x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Подставим это в уравнение:

$(x-2)^2 - 4 - 3|x-2| = 14$

$(x-2)^2 - 3|x-2| - 18 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x-2|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$. Заметим, что $(x-2)^2 = |x-2|^2 = t^2$.

Уравнение с новой переменной:

$t^2 - 3t - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{3 - 9}{2} = -3$

$t_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 6$ подходит.

Вернемся к переменной $x$:

$|x-2| = 6$

Это уравнение равносильно двум уравнениям:

1. $x-2 = 6 \implies x = 8$

2. $x-2 = -6 \implies x = -4$

Ответ: $-4; 8$.

4) $x - 5 + 2\sqrt{x-5} = 8$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-5}$. По определению арифметического корня, $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = (\sqrt{x-5})^2 = x-5$.

Подставим $t$ и $t^2$ в исходное уравнение:

$t^2 + 2t = 8$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-8$. Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию, является посторонним.

Корень $t_2 = 2$ подходит.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x-5} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x-5 = 4$

$x = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 5$). $9 \ge 5$, значит, корень подходит.

Ответ: $9$.