Номер 9.12, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.12. 1) Найдите число четных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

2) Найдите число способов распределения 10 мест среди 10 участников соревнований.

1) Чтобы найти количество четных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 3, 5 без повторения, нужно учесть несколько условий.
Четырехзначное число имеет вид $ABCD$, где $A, B, C, D$ — это цифры.
1. Четность числа: Число является четным, если его последняя цифра — четная. Из предложенного набора {0, 1, 3, 5} единственная четная цифра — это 0. Следовательно, последняя цифра ($D$) нашего числа должна быть 0.
2. Четырехзначность: Первая цифра ($A$) не может быть 0.
3. Уникальность цифр: Каждая цифра может быть использована только один раз.

Начнем составлять число с учетом этих ограничений, определяя количество вариантов для каждой позиции:
- Позиция D (последняя цифра): Должна быть 0 для четности. Есть только 1 вариант.
- Позиция A (первая цифра): Не может быть 0. Так как 0 уже занят на последней позиции, это условие выполняется. Для первой позиции остаются цифры {1, 3, 5}. Таким образом, есть 3 варианта.
- Позиция B (вторая цифра): Мы уже использовали две цифры (одну для A и 0 для D). Из четырех исходных цифр осталось две. Значит, для второй позиции есть 2 варианта.
- Позиция C (третья цифра): Использовано уже три цифры. Осталась только одна. Для третьей позиции есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции:
$N = 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$
Таким образом, существует 6 таких чисел.
Ответ: 6.

2) Требуется найти число способов распределения 10 мест среди 10 участников соревнований.
Это задача о перестановках, так как важен порядок распределения мест, и каждый участник занимает ровно одно место. Мы должны найти количество всех возможных упорядоченных наборов из 10 различных элементов (участников).
- Для первого места есть 10 кандидатов (любой из 10 участников).
- После того как первое место занято, на второе место претендуют оставшиеся 9 участников.
- На третье место — 8 участников, и так далее, пока для последнего, десятого, места не останется только 1 участник.

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места. Это число перестановок из 10 элементов, которое вычисляется как факториал числа 10 ($10!$).
$P_{10} = 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
Вычислим значение:
$10! = 3 628 800$
Следовательно, существует 3 628 800 способов распределить места.
Ответ: 3 628 800.