Номер 10.5, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.5. Докажите равенство:

1) $C_7^4 + C_7^3 = C_8^4$;

2) $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$;

3) $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + ... + C_5^5 = 32$.

1) Для доказательства этого равенства воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В левой части нашего равенства $C_7^4 + C_7^3$ мы имеем $n=7$ и $k=4$. Применяя тождество Паскаля, получаем: $C_7^4 + C_7^3 = C_{7+1}^4 = C_8^4$. Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Проверим равенство прямым вычислением: $C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$. $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$. $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70$. Складываем левую часть: $35 + 35 = 70$. Так как $70=70$, равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$ применим тождество Паскаля ($C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$) последовательно. Сначала рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $C_8^4 + C_8^3$. По тождеству Паскаля при $n=8$ и $k=4$: $C_8^4 + C_8^3 = C_{8+1}^4 = C_9^4$. Теперь подставим этот результат в исходное выражение: $C_9^4 + C_9^5$. Снова применим тождество Паскаля, на этот раз при $n=9$ и $k=5$: $C_9^5 + C_9^4 = C_{9+1}^5 = C_{10}^5$. Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую: $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = (C_8^4 + C_8^3) + C_9^5 = C_9^4 + C_9^5 = C_{10}^5$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

3) Данное равенство является частным случаем свойства биномиальных коэффициентов, которое выводится из формулы бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Если в этой формуле положить $a=1$ и $b=1$, то получим: $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k$, что приводит к тождеству: $2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n$. В нашем случае $n=5$. Подставляя это значение в тождество, получаем: $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5$. Вычислим правую часть: $2^5 = 32$. Следовательно, $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + ... + C_5^5 = 32$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.