Вопросы, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каком случае при решении комбинаторной задачи используют перестановки без повторений; сочетания без повторений; размещения без повторений?

Для решения комбинаторных задач важно правильно определить, имеет ли значение порядок элементов и используются ли все элементы из исходного множества. На основе этих двух критериев выбирается одна из трех основных формул комбинаторики без повторений.

перестановки без повторений

Перестановки без повторений используются в задачах, где необходимо найти количество способов, которыми можно упорядочить все элементы заданного множества. Ключевые условия для их применения: в расположении участвуют все $n$ элементов исходного множества, порядок их расположения важен, и все элементы различны (не повторяются).

Например, если нужно определить, сколькими способами можно расставить 7 разных книг на книжной полке, мы используем перестановки. Мы переставляем все 7 книг, и порядок их следования имеет значение.

Число перестановок без повторений из $n$ элементов вычисляется по формуле: $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Ответ: Перестановки без повторений используются, когда нужно найти число всех возможных упорядоченных последовательностей, которые можно составить из всех элементов данного конечного множества.

сочетания без повторений

Сочетания без повторений применяются, когда нам нужно выбрать подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, причем порядок выбора элементов не имеет значения. Основные условия: выбирается $k$ элементов из $n$ (где $k \le n$), порядок выбора элементов не важен, и все элементы исходного множества различны.

Пример задачи: сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из класса, в котором 25 учеников? Здесь мы выбираем группу из 3 человек, и неважно, в каком порядке их выбрали – состав группы от этого не изменится.

Число сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: Сочетания без повторений используются, когда нужно найти число способов выбрать неупорядоченное подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.

размещения без повторений

Размещения без повторений используются в задачах, где нужно не только выбрать подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, но и расположить их в определенном порядке. Ключевые условия: выбирается $k$ элементов из $n$ (где $k \le n$), порядок расположения выбранных элементов важен, и все элементы исходного множества различны.

Например, если в соревновании по бегу участвуют 10 спортсменов, и нам нужно определить, сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали. Мы выбираем 3 спортсменов из 10, и порядок важен, так как (Спортсмен А - золото, Спортсмен Б - серебро) – это не то же самое, что (Спортсмен Б - золото, Спортсмен А - серебро).

Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Ответ: Размещения без повторений используются, когда нужно найти число способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.