Номер 10.6, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.6. Вычислите:

1) $\frac{P_4}{P_8} : A_8^4;$

2) $\frac{P_5}{P_9} : A_9^5;$

3) $\frac{P_{20}}{A_{20}^{15}} : A_{20}^3;$

4) $\frac{P_{14}}{A_{14}^{10}} : C_6^5 : C_{11}^{11}.$

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулами для числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_4}{P_8} \cdot A_8^4$.
Подставим определения в выражение:
$P_4 = 4!$
$P_8 = 8!$
$A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!}$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{P_4}{P_8} \cdot A_8^4 = \frac{4!}{8!} \cdot \frac{8!}{4!}$
Сократим одинаковые множители ($8!$ в числителе и знаменателе, а также $4!$ в числителе и знаменателе):
$\frac{4!}{8!} \cdot \frac{8!}{4!} = 1$
Ответ: 1

2) Используем те же формулы, что и в предыдущем пункте: $P_n = n!$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_5}{P_9} \cdot A_9^5$.
Подставим определения в выражение:
$P_5 = 5!$
$P_9 = 9!$
$A_9^5 = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!}$
Подставляем в исходное выражение:
$\frac{P_5}{P_9} \cdot A_9^5 = \frac{5!}{9!} \cdot \frac{9!}{4!}$
Сокращаем $9!$:
$\frac{5!}{4!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5$
Ответ: 5

3) Используем формулы для числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_{20}}{A_{20}^{15}} : A_{20}^3$.
Подставим определения в выражение:
$P_{20} = 20!$
$A_{20}^{15} = \frac{20!}{(20-15)!} = \frac{20!}{5!}$
$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!}$
Подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим частное в скобках:
$\frac{P_{20}}{A_{20}^{15}} = \frac{20!}{\frac{20!}{5!}} = 20! \cdot \frac{5!}{20!} = 5!$
Теперь разделим полученный результат на $A_{20}^3$:
$5! : A_{20}^3 = 5! : \frac{20!}{17!} = 5! \cdot \frac{17!}{20!}$
Распишем $20!$ как $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!$ и сократим:
$5! \cdot \frac{17!}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!} = \frac{5!}{20 \cdot 19 \cdot 18}$
Вычислим значение $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$\frac{120}{20 \cdot 19 \cdot 18} = \frac{120}{6840} = \frac{12}{684}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:
$\frac{12}{684} = \frac{1}{57}$
Ответ: $\frac{1}{57}$

4) Для решения используем формулы для числа перестановок $P_n = n!$, числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_{14}}{A_{14}^{10}} : C_6^5 : C_{11}^{11}$.
Вычислим значение каждого компонента выражения по отдельности.
$\frac{P_{14}}{A_{14}^{10}} = \frac{14!}{\frac{14!}{(14-10)!}} = \frac{14!}{\frac{14!}{4!}} = 14! \cdot \frac{4!}{14!} = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$.
$C_{11}^{11} = \frac{11!}{11!(11-11)!} = \frac{11!}{11! \cdot 0!} = 1$, так как по определению $0!=1$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним деление последовательно:
$24 : 6 : 1 = 4 : 1 = 4$
Ответ: 4