Номер 9.6, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.6. Решите уравнение:

1) $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = \frac{5}{3}$;

2) $A_{2x+3}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$;

3) $C_n^2 \cdot A_n^2 = 32.$

1) $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n+1}^{n+1} = \frac{5}{3}$

Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $n$. Переменная $n$ должна быть целым числом, и должны выполняться условия для существования сочетаний:

$ \begin{cases} n-1 \ge 0 \\ n+1 \ge 0 \\ 2n+1 \ge n-1 \\ 2n+1 \ge n+1 \end{cases} \implies \begin{cases} n \ge 1 \\ n \ge -1 \\ n \ge -2 \\ n \ge 0 \end{cases} $

Из системы неравенств следует, что $n$ должно быть натуральным числом, $n \ge 1$.

Запишем левую часть уравнения, используя формулу для сочетаний:

$C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!((2n+1)-(n-1))!} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

$C_{2n+1}^{n+1} = \frac{(2n+1)!}{(n+1)!((2n+1)-(n+1))!} = \frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}$

Теперь составим их отношение:

$\frac{C_{2n+1}^{n-1}}{C_{2n+1}^{n+1}} = \frac{\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}}{\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!n!}{(2n+1)!} = \frac{n!(n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

Упростим полученное выражение, раскрыв факториалы: $n! = n \cdot (n-1)!$ и $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$.

$\frac{n \cdot (n-1)! \cdot (n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2) \cdot (n+1)!} = \frac{n}{n+2}$

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему:

$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{3}$

Решим его, используя свойство пропорции:

$3n = 5(n+2)$

$3n = 5n + 10$

$2n = -10$

$n = -5$

Полученное значение $n=-5$ не удовлетворяет области допустимых значений ($n \ge 1$). Следовательно, у исходного уравнения нет решений.

Ответ: нет решений.

2) $A_{2x+3}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Найдем ОДЗ для $x$. Переменная $x$ должна быть целым числом, и должны выполняться условия:

Для $A_{2x+3}^{x-1}$: $ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 2x+3 \ge x-1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies x \ge 1$.

Для $A_{2x}^{x+1}$: $ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 2x \ge x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.

Общая ОДЗ: $x$ - целое число, $x \ge 1$.

Запишем члены уравнения по формуле:

$A_{2x+3}^{x-1} = \frac{(2x+3)!}{(2x+3 - (x-1))!} = \frac{(2x+3)!}{(x+4)!}$

$A_{2x}^{x+1} = \frac{(2x)!}{(2x - (x+1))!} = \frac{(2x)!}{(x-1)!}$

Составим их отношение:

$\frac{A_{2x+3}^{x-1}}{A_{2x}^{x+1}} = \frac{\frac{(2x+3)!}{(x+4)!}}{\frac{(2x)!}{(x-1)!}} = \frac{(2x+3)!}{(x+4)!} \cdot \frac{(x-1)!}{(2x)!}$

Упростим, раскрыв факториалы: $(2x+3)! = (2x+3)(2x+2)(2x+1)(2x)!$ и $(x+4)! = (x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)!$.

$\frac{(2x+3)(2x+2)(2x+1)(2x)! \cdot (x-1)!}{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)! \cdot (2x)!} = \frac{(2x+3)(2x+2)(2x+1)}{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

Сократив $(x+1)$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{2(2x+3)(2x+1)}{x(x+2)(x+3)(x+4)}$

Приравнивая это выражение к $\frac{1}{30}$, приходим к уравнению $x^4+9x^3-214x^2-456x-180=0$. Данное уравнение 4-й степени не имеет целых корней, что указывает на вероятную опечатку в условии задачи.

Предположим, что опечатка состоит в том, что оба размещения должны быть из одного и того же множества, например, $2x+3$. Тогда уравнение принимает вид:

$A_{2x+3}^{x-1} : A_{2x+3}^{x+1} = \frac{1}{30}$

$\frac{\frac{(2x+3)!}{(2x+3 - (x-1))!}}{\frac{(2x+3)!}{(2x+3 - (x+1))!}} = \frac{\frac{(2x+3)!}{(x+4)!}}{\frac{(2x+3)!}{(x+2)!}} = \frac{(x+2)!}{(x+4)!} = \frac{(x+2)!}{(x+4)(x+3)(x+2)!} = \frac{1}{(x+4)(x+3)}$

Теперь решаем уравнение:

$\frac{1}{(x+4)(x+3)} = \frac{1}{30}$

$(x+4)(x+3) = 30$

$x^2+7x+12=30$

$x^2+7x-18=0$

По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=-9$.

Корень $x=-9$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$). Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: при предположении, что в условии задачи опечатка и уравнение имеет вид $A_{2x+3}^{x-1} : A_{2x+3}^{x+1} = 1/30$, решением является $x=2$. В исходной формулировке уравнение не имеет целых решений.

3) $C_n^2 \cdot A_n^2 = 32$

Используем формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

ОДЗ для данного уравнения: $n$ должно быть целым числом и $n \ge 2$.

Выразим $C_n^2$ и $A_n^2$ через $n$:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

$A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=n(n-1)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} \cdot n(n-1) = 32$

$\frac{[n(n-1)]^2}{2} = 32$

$[n(n-1)]^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$n(n-1) = \pm 8$

Рассмотрим два возможных случая:

1. $n(n-1) = 8 \implies n^2 - n - 8 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4(1)(-8) = 1+32=33$. Так как дискриминант $33$ не является полным квадратом, корни этого уравнения, $n = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$, не являются целыми числами.

2. $n(n-1) = -8 \implies n^2 - n + 8 = 0$.

Дискриминант этого уравнения: $D = (-1)^2 - 4(1)(8) = 1-32=-31$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку ни в одном из случаев мы не получили целых решений, удовлетворяющих ОДЗ, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.