Номер 8.16, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.16. Для множества ${1, 2, 3, 4}$ составьте все его подмножества: одноэлементные, двухэлементные, трехэлементные.

Сколько подмножеств получилось, которые не содержат ни одного элемента?

Сколько подмножеств содержат по одному элементу, по два элемента, по три элемента, по четыре элемента?

Сколько всего подмножеств получилось?

Исходное множество: $M = \{1, 2, 3, 4\}$. Подмножество — это множество, все элементы которого принадлежат исходному множеству.

одноэлементные:
Это подмножества, состоящие из одного элемента исходного множества. Для их составления мы берем каждый элемент по отдельности.
$\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}$.
Всего их 4. Их количество можно вычислить с помощью формулы числа сочетаний $C_n^k$, где $n=4$ (число элементов в исходном множестве), а $k=1$ (число элементов в подмножестве): $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Ответ: $\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}$.

двухэлементные:
Это подмножества, состоящие из двух элементов. Составляем все возможные пары без повторений и без учета порядка.
$\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}$.
Всего их 6. По формуле числа сочетаний при $n=4$ и $k=2$: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.
Ответ: $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}$.

трехэлементные:
Это подмножества, состоящие из трех элементов. Проще всего их составить, убирая по одному элементу из исходного множества.
$\{1, 2, 3\}$ (убрали 4), $\{1, 2, 4\}$ (убрали 3), $\{1, 3, 4\}$ (убрали 2), $\{2, 3, 4\}$ (убрали 1).
Всего их 4. По формуле числа сочетаний при $n=4$ и $k=3$: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4$.
Ответ: $\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\}$.

Сколько подмножеств получилось, которые не содержат ни одного элемента?
Существует только одно подмножество, которое не содержит ни одного элемента — это пустое множество. Оно обозначается как $\emptyset$ или $\{\}$. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Ответ: 1 подмножество.

Сколько подмножеств содержат по одному элементу, по два элемента, по три элемента, по четыре элемента?
- Подмножеств, содержащих по одному элементу: 4 (это одноэлементные подмножества $C_4^1=4$).
- Подмножеств, содержащих по два элемента: 6 (это двухэлементные подмножества $C_4^2=6$).
- Подмножеств, содержащих по три элемента: 4 (это трехэлементные подмножества $C_4^3=4$).
- Подмножеств, содержащих по четыре элемента: 1 (это само исходное множество $\{1, 2, 3, 4\}$, $C_4^4=1$).
Ответ: По одному элементу — 4 подмножества, по два элемента — 6, по три элемента — 4, по четыре элемента — 1.

Сколько всего подмножеств получилось?
Общее число подмножеств — это сумма количеств всех возможных подмножеств: с 0, 1, 2, 3 и 4 элементами.
Всего = (подмножества с 0 эл.) + (с 1 эл.) + (с 2 эл.) + (с 3 эл.) + (с 4 эл.) = $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$.
Также общее число всех подмножеств для множества из $n$ элементов равно $2^n$. Для нашего множества из 4 элементов общее число подмножеств равно $2^4 = 16$.
Ответ: 16 подмножеств.