Номер 8.10, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.10. Найдите корни уравнения:

1) $A_x^3 = 14x - 2x^2$

2) $A_x^3 = 20x + 4x^2$

3) $A_x^3 = 2x^3 - 5x^2 - 6x$

Для решения данных уравнений используется формула для числа размещений из $x$ по 3: $A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$. По определению размещений, $x$ должен быть натуральным числом, и должно выполняться условие $x \ge 3$.

1) $A_x^3 = 14x - 2x^2$
Заменим $A_x^3$ на его выражение через $x$ и решим полученное уравнение:
$x(x-1)(x-2) = 14x - 2x^2$
$x(x^2 - 3x + 2) = 14x - 2x^2$
$x^3 - 3x^2 + 2x = 14x - 2x^2$
Приведем все члены к левой части:
$x^3 - x^2 - 12x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - x - 12) = 0$
Это уравнение имеет корни $x_1 = 0$ или $x^2 - x - 12 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни квадратного уравнения: $x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ и $x_3 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.
Получили три возможных корня: 0, 4, -3. Согласно области определения ($x$ - натуральное число и $x \ge 3$), нам подходит только $x=4$.
Ответ: 4.

2) $A_x^3 = 20x + 4x^2$
Подставим выражение для $A_x^3$ в уравнение:
$x(x-1)(x-2) = 20x + 4x^2$
$x^3 - 3x^2 + 2x = 20x + 4x^2$
$x^3 - 7x^2 - 18x = 0$
$x(x^2 - 7x - 18) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ или $x^2 - 7x - 18 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.
Корни квадратного уравнения: $x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9$ и $x_3 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = -2$.
Из полученных корней 0, 9, -2 условию $x \ge 3$ и $x \in \mathbb{N}$ удовлетворяет только $x=9$.
Ответ: 9.

3) $A_x^3 = 2x^3 - 5x^2 - 6x$
Подставим выражение для $A_x^3$ в уравнение:
$x(x-1)(x-2) = 2x^3 - 5x^2 - 6x$
$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x^3 - 5x^2 - 6x$
$x^3 - 2x^2 - 8x = 0$
$x(x^2 - 2x - 8) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ или $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни квадратного уравнения: $x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ и $x_3 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
Из полученных корней 0, 4, -2 условию $x \ge 3$ и $x \in \mathbb{N}$ удовлетворяет только $x=4$.
Ответ: 4.